Come sapete, la costante ꬲ ≅ 2,71828… se la gioca alla pari con π nel campionato per il numero che appare più spesso nelle formule matematiche. A differenza del pi greco, però, ꬲ è più facile da gestire, non tanto perché è il limite per $n$ tendente all’infinito dell’espressione $(1 + 1/n)^n$ (la definizione usuale) quanto perché è la somma della serie $ \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots $ che ha due vantaggi: è facile da scrivere e converge molto rapidamente. Ci sono anche altre rappresentazioni interessanti di ꬲ, come la forma in frazione continua [1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, …] che ha permesso a Eulero di dimostrare che è un numero irrazionale. Non è però immediato ricavare questo sviluppo; in compenso esiste una dimostrazione relativamente semplice, dovuta a Joseph Fourier (sì, quel Fourier) dell’irrazionalità di ꬲ. Eccola qua.

Cominciamo a considerare queste due successioni infinite (o meglio, la collezione di successioni infinite per ogni valore di $n$):

$$ a_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)} + \cdots $$
$$ b_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+1)^3} + \cdots $$

È immediato vedere che la successione $a_n$ è una progressione geometrica, e quindi il suo valore è $\frac{1}{n}$; d’altra parte, ogni termine di $a_n$ tranne il primo è minore a quello corrispondente di $b_n$ mentre il primo è uguale, e quindi $ 0 < a_n < \frac{1}{n} $. Adesso viene il bello. Prendiamo la definizione di ꬲ come somma infinita e moltiplichiamola per $n!$. I primi $n$ termini del risultato sono tutti interi, mentre la somma di quelli che rimangono, dopo avere tolto $n!$ a denominatore, corrisponde proprio a $a_n$ e quindi è compresa tra 0 e 1. Possiamo riscrivere questo risultato dicendo $$ a_n = n!ꬲ - \textrm{int}(nꬲ)$$ La dimostrazione è praticamente terminata. Supponiamo infatti per assurdo che ꬲ sia razionale, e quindi possiamo scrivere $ꬲ = \frac{k}{m}$, con $k$ e $m$ interi. Ma allora $m!ꬲ$ è intero, e dunque $ (m!ꬲ) = \textrm{int}(m!ꬲ)$, il che è impossibile perché sappiamo che tutti gli $a_n$ sono maggiori di zero. QED. Cosa possiamo ricavare da questa dimostrazione? Che Fourier era uno che ne sapeva: a me non sarebbe mai venuto in mente un percorso del genere. Col senno di poi però si può forse intuire cosa sia venuto in mente a Fourier. Il fatto che i termini della successione infinita tendono a zero molto, molto rapidamente ci fa capire che non hai spazio per riuscire a mettere insieme tutti i coefficienti dei denominatori per arrivare a un numeratore multiplo di essi; è un po’ la stessa idea che ebbe Liouville quando costruì esplicitamente il primo numero che si poteva dimostrare essere trascendente. Il bello di questa dimostrazione è comunque che possiamo tranquillamente spiegarla a uno studente liceale, una volta dato per assodato qual è lo sviluppo in serie infinita di ꬲ; non è che siano cose che capitino tutti i giorni!