Nel 1918 József Kürschák dimostrò che la somma di reciproci di due o più numeri consecutivi non può mai essere un intero. Come corollario, l’unico valore intero toccato calcolando la serie armonica $H_n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …$ è 1. Ci si può però oziosamente chiedere quanto vicino si può arrivare a un intero. John Cook in una successione di post ha mostrato che se ci limitiamo ai numeri da 1 a 100000 abbiamo che $$ \sum_{k=27134}^{73756} \frac{1}{k} \approx 1$$ con un errore dell’ordine di $10^{-11}$, e questa è la migliore approssimazione possibile a 1.

Limitandoci alle porzioni di serie armonica, si arriva rapidamente a un problema: i numeri in virgola mobile non sono abbastanza precisi per fare tutte le addizioni. Fortunatamente abbiamo a nostra disposizione un’approssimazione molto buona: $H_n \approx \log n + \gamma + \frac{1}{2n} – \frac{1}{12n^2}$, dove $\gamma$ è la costante di Eulero-Mascheroni pari a circa 0,57721. (Curiosità: non è noto se sia o no un numero razionale, ma tutti credono di sì, anche perché in caso contrario il suo denominatore dovrebbe avere almeno $10^{242080}$ cifre…). Notate come l’approssimazione usata da Cook sia molto più accurata di quella usuale $H_n \approx \log n + \gamma$, per andare più sul sicuro. Cook si è divertito a scrivere un programmino Python per trovare il termine della serie armonica più vicino a un numero (non necessariamente intero) dato, scoprendo per esempio che $H_12366 \approx 9,99996214846655$.

Ma anche questo programma, pur essendo ben fatto, ha dei problemi di arrotondamento se il numero cercato è molto grande. Per esempio dice che se vogliamo arrivare ad approssimare 100 dobbiamo sommare 15092688622113830917200248731913020965388288 termini, e l’errore relativo è dell’ordine di $3 \times 10^{-15}$. Ma usando Mathematica e l’approssimazione $n \approx \rm{exp}(m − \gamma)$, dove $m$ è il numero che vogliamo approssimare e $n$ il numero di termini richiesti, Cook mostra che la vera quantità di termini che dobbiamo sommare è 15092688622113788323693563264538101449859497; insomma i due numeri divergono dalla quattordicesima cifra, il che ha senso visto che siamo ai limiti della precisione dei numeri a 64 bit. Per curiosità, per arrivare a 1000 occorrono un bel po’ di termini, cioè

110611511026604935641074705584421138393028001852577373936470952377218354575172401275457597579044729873152469512963401398362087144972181770571895264066114088968182356842977823764462179821981744448731785408629116321919957856034605877855212667092287520105386027668843119590555646814038787297694678647529533718769401069269427475868793531944696435696745559289326610132208504257721469829210704462876574915362273129090049477919400226313586033

(un numero di 435 cifre). Che possiamo dedurre da tutto questo? Due cose. La prima è che la serie armonica cresce molto lentamente; la seconda è che bisogna sempre sapere qual è il modo migliore per fare un conto, tenendo conto delle limitazioni dei computer…