1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯

3 Repliche

la somma 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ mostrata graficamente La successione infinita mostrata qui sopra è stata probabilmente la prima ad essere sommata. Naturalmente l’artefice di questo risultato è stato Archimede, l’unico matematico dell’antichità che non aveva paura di trattare con quantità infinite. Questo risultato gli serviva per quadrare la parabola; chiaramente la dimostrazione formale che fece per la quadratura sfruttò il metodo di esaustione di Eudosso, ma per quanto riguarda la somma il siracusano mostrò la figura qui raffigurata. Il quadrato grande di lato 1 è diviso in quattro parti uguali: una è colorata (e quindi ha area 1/4), due sono bianche, la quarta è divisa a sua volta allo stesso modo, con un quadrato colorato di area 1/16, due quadrati bianchi della stessa area e un quarto quadrato da dividere a sua volta. In definitiva, alla parte colorata corrispondono due parti identiche non colorate, e tutte assieme riempiono il quadrato: pertanto l’area complessiva delle parti colorate è 1/3.

Ok, in realtà non è proprio così: come spiega la voce di Wikipedia, Archimede dimostrò che la somma 3/4 + 3/16 + 3/64 + 3/256 + ⋯ si avvicina quanto si vuole a 1. (Sempre esaustione, claro). Nella sua dimostrazione il quadrato colorato e i due non colorati formano uno gnomone, cioè una figura a L; l’insieme di tutti gli gnomoni riempiono il quadrato.

un altro modo per sommare la serie infinita 1/4 + 1/16 + 1/64 + ..., stavolta con i triangoli

Immagine di Kilom69, da Wikimedia Commons

Ma la cosa forse più bella è che non è necessario usare i quadrati per mostrare che la somma in questione vale 1/3. Come potete vedere nella figura qui a fianco, è possibile prendere un triangolo equilatero e scomporlo in modo tale da avere la stessa suddivisione. Quale delle due scomposizioni è la migliore? Per quanto mi riguarda, la risposta è “entrambe”; ciascuna costruzione è infatti interessante, e visualmente chiara. Il bello di queste dimostrazioni senza parole è proprio questo: capire un risultato senza dover fare conti (in questo caso bisogna saper contare fino a tre, ma direi che ce la possiamo fare…)

3 pensieri su “1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯”

  1. un cattolico

    Curioso che dalla definizione originaria di gnomone si sia passata a quella pitagorica:

    “Stilo o indice di opportuna lunghezza e conveniente orientazione, la cui ombra (o l’estremo dell’ombra) serve a segnare le ore negli orologi a sole o meridiane”. / “Strumento rudimentale, costituito da un’asta disposta verticalmente sul suolo, per misurare l’altezza del Sole sull’orizzonte e per determinare l’istante del mezzogiorno locale”.

    “Figura geometrica piana costituita da ciò che rimane di un quadrato di lato AB se da esso si toglie un quadrato di lato AC (essendo C un punto di AB); il termine fu usato dai pitagorici nella loro teoria dei numeri quadrati, con sign. analogo”.

    Da che era un’asticella è diventata una L.

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  2. Mario

    In realtà non basta saper contare fino a tre, ma bisogna anche capire quanto vale la frazione di una frazione…

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