Non so se avete avuto voglia di provare a dare una spiegazione per la notevole coincidenza che ho presentato mercoledì scorso. Qui ci sono le mie pensate, che mi hanno portato lentamente a trovare una soluzione.

La prima cosa che mi è venuta in mente è stata la legge di Benford, che si vede bene nei valori delle potenze di 10. Quella è però una falsa pista: beh, a dire il vero nemmeno troppo falsa, ma solo nel senso che il procedimento che porta alla legge di Benford è simile a quello che ci interessa. La seconda cosa che mi è venuta in mente è che $2^{10} \approx 10^3$, e che questo poteva forse spiegare la somiglianza dei valori. Però anche $2^{20} \approx 10^6$; d’accordo, l’errore è circa il doppio, ma la successione delle potenze “scalate tra 1 e 10” non assomiglia affatto a quella delle potenze frazionarie di 10. Però è anche vero che in certi casi la concordanza è ottima: abbiamo che $6^9 = 10077696$, e costruendo la tabella con le prime nove potenze (e quelle di 10 da $10^{1/9}$ in su) otteniamo (sempre approssimando)

$$
\begin{matrix}
n & \textrm{potenza} & \textrm{seietto} & \textrm{differenza} \\
0 & 1 & 1 & 0.00\% \\
1 & 1.2915 & 1.296 & 0.34\% \\
2 & 1.6681 & 1.6796 & 0.69\% \\
3 & 2.1544 & 2.16 & 0.26\% \\
4 & 2.7826 & 2.7993 & 0.60\% \\
5 & 3.5938 & 3.6 & 0.17\% \\
6 & 4.6416 & 4.6656 & 0.52\% \\
7 & 5.9948 & 6 & 0.09\% \\
8 & 7.7426 & 7.776 & 0.43\% \\
\end{matrix}
$$

Insomma, a volte l’essere arrivati molto vicino a una potenza di 10 funziona e a volte no. A questo punto sono tornato sui miei passi, e ho ripreso l’idea della legge di Benford, o meglio mi sono ricordato di come Simon Newcomb avesse notato la legge qualche decennio prima di Benford: le prime pagine delle tavole dei logaritmi erano più sporche delle ultime, il che significava che quelle pagine venivano usate di più. Prendiamo dunque i logaritmi in base 10 delle potenze di 10 usate nella tabella: per costruzione saranno tutti equidistanti tra 0 e 1 (più precisamente saranno 0/10, 1/10, …, 9/10, visto che ci siamo fermati prima di $10^1$). Cosa abbiamo invece nelle prime dieci potenze di 2? Sappiamo che $2^{10} \approx 10^3$, e quindi i loro logaritmi saranno equidistanti, con un passo di circa 3/10 (e infatti $\log_{10} 2 \approx 0.30103$). Trasformare le potenze di due mettendo il punto decimale dopo la prima cifra corrisponde a considerare solo la parte decimale (la mantissa) dei logaritmi; quindi abbiamo (quasi) la parte decimale dei multipli di 0.3; la cifra decimale di questi multipli varia da 0 a 9. Ora è chiaro perché considerare le prime venti potenze di 2 non funziona: abbiamo i valori della prima cifra decimale a coppie. Nel caso dei seietti, le parti decimali sono nove e quindi i logaritmi saranno distanziati circa di 1/9 uno dall’altro, mentre quelli delle potenze di 10 sono distanziati esattamente di 1/9.

A questo punto possiamo anche capire il motivo per cui gli errori variano: nei logaritmi abbiamo un residuo (0.00103 nel caso delle potenze di 2) che man mano si accumula. Gli errori maggiori si hanno pertanto in corrispondenza delle potenze più grandi di 2. In definitiva: no, non era una coincidenza, ma accorgersi del motivo non è immediato.