Il triangolo di lato 10 mostrato nella figura qui sotto ha la prima riga con i cerchi colorati di rosso, giallo o blu. Non sono colorati proprio a caso: ho preso le prime cifre decimali di pi greco e usato il rosso se sono uguali a 0 modulo 3, in giallo se sono 1 mod 3, in blu se sono 2 mod 3. Ma questo non importa. Supponete ora di colorare tutto il triangolo in questo modo: se i due cerchi soprastanti sono dello stesso colore si usa quel colore, mentre se sono di colore diverso si usa il terzo colore. Bene: io non ho fatto la prova, ma sono certo che il cerchio più in basso sarà rosso. Come mai?

Il trucco è guardare solamente i due cerchi estremi nella prima riga, e applicare alla coppia le regole che ho definito qui sopra. Quei due cerchi sono rossi, quindi anche quello in basso dovrà essere rosso. Semplice, no? Gary Antonick ne aveva parlato sul NYT: la proprietà è stata scoperta da Steve Humble, che insegna didattica della matematica all’università di Newcastle, e dimostrata e generalizzata da Ehrhard Behrends. Notate che la regola non funziona sempre: nel triangolo di lato 3 mostrato qui a destra è immediato notare che se il cerchio in mezzo nella prima riga fosse blu e non giallo allora quello in bssso sarebbe giallo e non blu. Con il lato 2 e quello 4 invece funziona, così come con il lato 10: più in generale Behrends ha mostrato che perché valga quella proprietà il lato del triangolo deve essere della forma 3^k+1. Voi come lo dimostrereste? Qui c’è il mio approccio (non ho letto l’articolo citato sul NYT, ma mi stupirei se la dimostrazione fosse essenzialmente diversa dalla mia).

La mia dimostrazione comincia con il caso n = 4. (Il caso n = 2 è vero per definizione.) Invece che i tre colori, difficili da gestire matematicamente, uso i numeri 0, 1, 2; la regola per calcolare il numero da inserire sotto la coppia $a, b$ è dato da $a ⊕ b = -(a+b) \mod 3$. Se abbiamo nella prima riga i valori $a, b, c, d$ quelli della seconda riga (modulo 3, come per le righe seguenti) saranno $-(a+b), -(b+c), -(c+d)$; la terza riga avrà $a+2b+c, b+2c+d$ e l’elemento dell’ultima riga sarà $-(a+3b+3c+d)$. Ma $3b \mod 3 = 3c \mod 3 = 0$, quindi l’elemento sarà $-(a+d)$ che è esattamente $a ⊕ d$. Per il caso generale, possiamo “esplodere” un triangolo di lato 3^k+1 collocando due cerchi di un colore qualunque tra ciascuna coppia di cerchi di ogni riga e facendo i passaggi corrispondenti per scendere alla riga di sotto: per quanto abbiamo appena visto, tutti queste aggiunte sono ininfluenti, e quindi il risultato è quello voluto.

Se qualcuno si chiedesse come sia arrivato a trovare questa operazione algebrica, la risposta è semplice. Avevo il grande vantaggio di conoscere già il risultato; lavorare modulo 3 è poi ovvio visto che abbiamo solo a disposizione tre colori. Ho scritto le sei possibilità essenzialmente diverse di accoppiare due numeri in ${0, 1, 2}$, le ho guardate, ho ricavato la regola e trovato poi un modo per descriverla formalmente. Mi sono insomma sporcato un po’ le mani con i conti, ma quella è sempre stata una mia cifra stilistica, proprio come il lavorare molto con relazioni ricorsive, forse a causa della mia matrice che è anche informatica. Mi sarei accorto della proprietà se non ne avessi sentito parlare? Probabilmente no, a meno che non avessi molto tempo da perdere, nel qual caso sarei comunque arrivato alla soluzione. Però il bello della matematica è (anche) trovare per caso cose e poi vedere che deve essere per forza così, non lo pensate anche voi?