I quaternioni sono un’estensione dei numeri complessi, ideata da William Rowan Hamilton che voleva estendere alla terza dimensione le operazioni geometriche permesse sul piano dall’introduzione dei numeri complessi: dopo lunghi e infruttuosi tentativi di aggiungere una nuova unità immaginaria che rappresentasse l’asse z, il 16 ottobre 1843 ebbe l’idea risolutiva mentre passeggiava con la moglie a Dublino e passava su Brougham Bridge: occorreva anche avere una terza unità immaginaria per riuscire a far tornare i conti nel caso di moltiplicazioni. Incise così sul parapetto del ponte le formule di base per i quaternioni: (ora il ponte si chiama Broom Bridge, e al posto dell’incisione c’è una targa)

$$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = −1$$

Tabella moltiplicativa per i quaternioni; il primo fattore è quello della riga verticale a sinistra, il secondo quello della riga orizzontale in alto.

Ok, tecnicamente non serviva una terza unità immaginaria: Hamilton avrebbe potuto accontentarsi di $i$ e $j$, con le uguaglianze $i^2 = j^2 = -1$ e $ij = -ji$, ma evidentemente preferiva una simmetria totale. Come avete notato, passando ai quaternioni perdiamo qualcosa. Come nel caso dei numeri complessi non avevamo più un ordinamento (naturale: possiamo sempre dire che $a+bi > c+di$ se $a>c$ oppure $a=c, b>d$, ma non ce ne facciamo niente in pratica), con i quaternioni perdiamo la commutatività della moltiplicazione. Questo non dovrebbe stupirci: se i quaternioni rappresentano operazioni che si fanno nello spazio e nel particolare quelli unitari rappresentano una rotazione, sappiamo che il risultato della composizione di due rotazioni spaziali dipende dall’ordine con cui si eseguono. La cosa divertente è che come al solito in matematica non si butta mai via nulla: la moltiplicazione di due quaternioni è fondamentalmente identica all’Identità dei quattro quadrati di Eulero, che il grande matematico svizzero aveva scoperto un secolo prima…

Quello che però ho scoperto in questi giorni è che i quaternioni non sono stati l’unico modo per rappresentare l’algebra corrispondente agli spazi 3D e 4D! I primi esempi sono stati trovati da James Cockle, un altro avvocato prestato alla matematica. Nel 1848 Cockle propose i tessarini, che sono definiti dalle seguenti relazioni:

$$i j = j i = k, \quad i^2 = -1, \quad j^2 = 1$$

tabella moltiplicativa per i tessarini

I tessarini sono stati creati per rappresentare seno e coseno iperbolico, ma hanno lo svantaggio di avere dei divisori dello zero, cioè due numeri non nulli tale che il loro prodotto sia zero. L’anno successivo Cockle propose così i coquaternioni, con le relazioni

$$i^2 = -1, \quad j^2 = k^2 = 1, \quad ij = k = -ji $$

tabella mottiplicativa per i coquaternioni

Anche in questo caso però abbiamo divisori dello zero e addirittura elementi nilpotenti (che cioè elevati a una potenza sufficientemente alta danno zero.

Tutti questi tipi di numero vengono oggi visti come matrici 2×2: abbiamo per i quaternioni le unità

$$1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad
i = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \qquad
j = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \qquad
k = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}$$

Per i tessarini valgono invece le uguaglianze

$$1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad
i = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \qquad
j = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad
k = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}$$

Per i coquaternioni infine abbiamo

$$1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad
i = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \qquad
j = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad
k = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

In pratica tutte queste algebre sono casi speciali dei biquaternioni, che sono appunto algebre sulle matrici 2×2. Non potete dire che i matematici non abbiano fantasia…