Conoscete sicuramente il principio dei cassetti: se avete $n$ cassetti e volete metterci dentro $n+1$ magliette, ci sarà almeno un cassetto che conterrà due magliette (più o meno stropicciate). Immagino però che non abbiate mai sentito parlare del principio del cammello: almeno io.non lo conoscevo, anche perché probabilmente il nome l’ha inventato Tiwadar Danka, che ne parla in questo suo articolo.

Il nome del principio deriva dalla vecchia storia del beduino che in punto di morte divide i suoi diciassette cammello tra i tre figli: al maggiore ne tocca la metà, al secondogenito un terzo e al minore un nono. Quando dopo il funerale i fratelli si accingono a spartirsi i cammelli, scoprono che bisogna fare spezzatini di cammello per la suddivisione, come mostrato in figura qui sopra: e notoriamente la carne di cammello è molto stopposa e non è buona nemmeno come spezzatino. Mentre stanno litigando, passa un vecchio saggio in sella al suo cammello. Fattosi spiegare il motivo della diatriba, ci pensa su un attimo e poi dice “Nema problema! Tenetemi un attimo il cammello, e rifacciamo i conti.” I cammelli sono ora 18, e i conti tornano perfettamente: nove cammelli vanno al figlio maggiore, sei al secondo e due al terzo. Facendo la somma abbiamo 17 cammelli suddivisi tra i fratelli; il saggio saluta, si riprende il suo cammello e se ne va.

Cosa ha fatto il saggio? Ha aggiunto e poi tolto un cammello. Il principio del cammello è proprio questo: se noi sommiamo e sottraiamo la stessa quantità non modifichiamo il risultato, ma magari possiamo riarrangiare i termini per trovare una soluzione. Nel caso del racconto qui sopra in realtà c’è un trucco: il beduino aveva fatto male la suddivisione, oltre a fare parti estremamente disuguali. Infatti 1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18. Ecco perché i conti non tornavano! Ma ci sono altri esempi pratici. Per esempio, come si arriva alla soluzione di un’equazione di secondo grado? Noi a scuola impariamo la formula a memoria, e poi ce la dimentichiamo subito dopo. Nel mondo anglosassone la formula viene ricavata “completando il quadrato” e questa è un’applicazione del principio del cammello. Vediamo come.

Partendo dall’equazione $ax^2 + bx + c = 0$, il primo passaggio consiste nel fattorizzare $a$:

$$a \left[ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} \right] = 0$$

Da qui ci piacerebbe avere un qualcosa della forma $(ax+r)^2$: per farlo possiamo sommare e sottrarre un cammell… ehm, il termine $b^2/4a^2$. Otteniamo dunque

$$a \left[ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} – \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} \right] = 0 \quad → \quad \\ a \left[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 – \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} \right] = 0$$

Perché il prodotto di due termini sia nullo, almeno uno deve esserlo: ma $a \ne 0$ perché sennò l’equazione non sarebbe di secondo grado, quindi a essere nulle è il secondo,da cui abbiamo

$$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 – 4ac}{(2a)^2}$$

che ci porta rapidamente alla formula cercata.

Il secondo esempio di Danka sfrutta una variante del principio del cammello: anziché sommare e sottrarre la stessa quantità, si moltiplica e divide per la stessa quantità (non nulla, ovvio). Questa variante viene usata per ricavare la formula della derivata di una funzione composta. Sappiamo che la definizione della derivata di una funzione $f()$ nel punto $a$ è data da

$$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$

E se noi volessimo trovare la derivata in $a$ di $(f \circ g)()$? Riscriviamo la formula sopra:

$$ (f \circ g)'(a) = \lim_{x \to a} \frac{(f \circ g)(x)-(f \circ g)(a)}{x-a} $$

A questo punto prendiamo il nostro cammello e moltiplichiamo e dividiamo per $g(x) – g(a)$. Otteniamo

$$ (f \circ g)'(a) = \lim_{x \to a} \frac{(f \circ g)(x)-(f \circ g)(a)}{g(x) – g(a)} \frac{g(x) – g(a)}{x-a} $$

Abbiamo ora il limite di un prodotto che (sempre alle solite condizioni di esistenza) è uguale al prodotto dei limiti:

$$ (f \circ g)'(a) = \lim_{x \to a} \frac{(f \circ g)(x)-(f \circ g)(a)} {g(x) – g(a)}\lim_{x \to a} \frac{g(x) – g(a)}{x-a} $$

Ma il primo limite è $f'(g(a))$ e il secondo è $g'(a)$, da cui il risultato cercato $(f \circ g)'(a) = f'(g(a))\cdot g'(a)$.

L’unico vero problema del principio del cammello è che bisogna avere un’idea di cosa ci può servire per facilitarci la vita: ma se ricontrollate gli esempi vedete che non è poi così difficile. Anche nel secondo caso tutto quello che avevamo a disposizione era la definizione di derivata, e quindi ce la siamo cercata (senza doppi sensi). Vi vengono in mente altri casi in cui si può usare il principio del cammello?

La silhouette del cammello è presa da SVGrepo.