Vi ho parlato – qui, qui e qui – del rapporto superaureo ψ, che è l’unica soluzione positiva dell’equazione $x^3 = x^2 + 1$. E cosa succede se prendiamo invece l’equazione $x^3 = x + 1$? Semplice: otteniamo il rapporto plastico (o numero plastico, se preferite), che si indica con ρ e vale circa 1,324717957… Ah: non traducete “plastic number” come “numero di plastica”, perché sarebbe riduttivo. L’aggettivo “plastico” in questo caso significa “che si può modellare artisticamente”.

Abbiamo una formula esplicita per ρL

$\rho=\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}$,

il che non è in effetti un valore bello a vedersi, ma dobbiamo accontentarci di quel che ci passa il convento. Anche lo sviluppo in frazione continua non ci dice molto: comincia infatti con [1;3,12,1,1,3,2,3,2,4,2,141,80,…] dove l’unica cosa davvero interessante è che ci si può fermare al dodicesimo livello della frazione continua, prima cioè del 141 e avere un’approssimazione molto precisa. E a proposito di approssimazioni, ρ è il più piccolo numero di Pisot-Vijayaraghavan e quindi come ricordate le sue potenze sono molto vicine a numeri interi.

Inutile dire che esiste una successione ricorsiva simile a quella di Fibonacci tale che il rapporto tra due termini successivi tenda a ρ; anzi, ce ne sono due. La più nota è probabilmente quella di Padovan (che non è un matematico italiano ma britannico), definita nel modo seguente: P(0) = P(1) = P(2) = 1, e P(n) = P(n−2) + P(n−3). La seconda è quella di Perrin (ma ne aveva già parlato Édouard Lucas), con la stessa ricorrenza ma i cui primi tre valori sono 3, 0, 2; questa successione ha un significato combinatorio. Che bisogna passare al termine tre posizioni indietro è chiaro, visto che ρ è la soluzione di un’equazione di terzo grado.

Come i numeri di Fibonacci permettono di costruire un quadrato che racchiude una spirale, capita qualcosa di simile con i numeri di Padocan che però usano triangoli equilateri anziché quadrati, formando una figura più simile a una conchiglia. In figura potete vedere tre di queste spirali.

Ci sono altre proprietà del rapporto plastico, che vi racconterò la prossima volta.

Le spirali plastiche sono di Hyacinth, da Wikimedia Commons