Nella sua mailing list Beyond Euclid, Ali Kaya ha presentato un’approssimazione di e costruita da Richard Sabey, che usa tutte le cifre da 1 a 9 e che vedete qui sotto. Il valore è corretto a 18.457.734.525.360.901.453.873.570 cifre decimali. Come è possibile?
Immagino che vi siate accorti tutti del trucco (in senso buono, naturalmente: l’approssimazione è proprio quella, non ha barato) di Sabey. Una delle definizioni di e è il limite per n tendente a infinito di (1 + 1/n)n. Quindi se prendiamo n abbastanza grande ci avviciniamo molto a e. Ora, il meno nell’esponente tra parentesi serve per fare l’inverso. Poi abbiamo 4(7×6) = 442 = 284; ma questo è l’esponente di 9 che è 32, quindi tutto il numerone tra parentesi è 32^85, esattamente come il numerone a cui si eleva il valore tra parentesi.
L’idea di Sabey è stata dunque quella di trovare un modo per scrivere in due modi diversi il numero più grande possibile usando una sola volta le cifre da 2 a 9: complicato ma non così tanto come il compito poteva sembrare a prima vista. (Poi ha anche dovuto calcolare quanto fosse corretta l’approssimazione, e lì ammetto di non sapere come si fa.)
Spero di non avervi rovinato la poesia dell’espressione algebrica!
A quanto pare nel 2004 andava di moda cercare formule *pannumeriche dei numeri trascendenti, solo che quella di Sabey è molto più efficace di quella di Ziv, che si fermava alle prime dieci cifre per π:
https://www.futilitycloset.com/2010/05/12/pandigital-approximations/
Qui presumo venga dato il collegamento allo scritto di Sabey che ne parlava, ma ahinoi non è più raggiungibile:
https://mathgarage.wordpress.com/2019/01/15/an-extremely-good-approximation-of-the-euler-number-e-using-only-the-digits-1-9/
E sarebbe questo: https://www2.stetson.edu/~efriedma/mathmagic/0804.html
P.S.: Non c’è più nulla su di lui nel dominio di quella università… Defunto?
L’articolo di Friedman si può trovare nel suo sito. Ho controllato il testo originale: di Sabey c’è solo un indirizzo email.
Nella pagina di Friedman è totalmente diversa la formula attribuita sempre a Sabey, e non basata sul limite bensì su un’espressione algebrica che usi tutti i numeri da 1 a 9 in ordine (“barando” , nel senso che non esplicitano gli zeri):
(1+2^(-3*(4+5)))^(.6*.7+8^9)
Per essere più preciso: ci sarebbe anche quest’altra attribuita *forse* a Sabey (citato come quello che ha dato più contributi tra tutte le formule elencate in quel paragrafo) in quella pagina, che è sempre basata sul limite, ma è diversa. Quindi boh, non capisco perché citino quell’articolo che non riporta quella esatta formulazione.
(1+.2^9^(7×6))^5^3^84
Sbaglio o sarebbe anche più accurata, visto che scrive che ha 8.368.428.989.068.425.943.817.590.916.445.001.887.164 cifre corrette?
Se è così curioso parlino tutti dell’altra.
Scusa il flood, avrei potuto fare un unico commento.
magari non piaceva scrivere .2 anziché 0.2 (che tra l’altro permetterebbe di usare tutte le cifre da 0 a 9), oppure Ali Kaya non aveva trovato quell’altra pagina.
“Poi ha anche dovuto calcolare quanto fosse corretta l’approssimazione, e lì ammetto di non sapere come si fa.”
La risposta è qui:
https://www.flyingcoloursmaths.co.uk/estimating-e/
grazie! (non avevo pensato a prendere i logaritmi e fare lo sviluppo di Taylor)