Se vi dicessi che ho scritto l’anno 2023 in una certa base e mi è venuto fuori 2441010, mentre il 2024 si rappresenta come 2441100, riuscireste a indovinare la base? Probabilmente no, a meno che non abbiate visto e studiato la vignetta qui a fianco. Ho infatti scritto i numeri in base fattoradicale; un modo indubbiamente fantasioso, come vedremo. La base fattoradicale è un sistema a base mista: le posizioni da destra a sinistra corrispondono ai multipli dei successivi numeri fattoriali, con la regola aggiuntiva ma logica che non è possibile che nella posizione
Non è difficile dimostrare che ogni numero naturale si può scrivere in un solo modo in base fattoradicale; il trucco è notare che quando il coefficiente relativo alla posizione
Ma a che serve scrivere un numero in fattoradicale, considerando che come dice xkcd se superi la posizione corrispondente a 9! devi inventarti dei nuovi simboli? Per esempio per un trucco di magia matematica, come racconta Tom Edgar. Mischiate un mazzo di carte, chiedete a un membro del pubblico di prendere un mazzetto di 24 carte e sceglierne una mentre non guardate, e di mischiare di nuovo il mazzatto. A questo punto vi girate verso il pubblico e chiedete a una seconda persona di dire qual è il numero che preferisce tra 1 e 24. Prendete il mazzetto e fate due file di 12 carte alternando da una fila all’altra, e chiedete alla prima persona in quale fila si trova la carta da lui scelta. Mettete una fila sopra l’altra e fate stavolta tre file di 8 carte, chiedendo sempre dove si trova la carta scelta; infine fate quattro file di sei carte e chiedete ancora una volta dove si trova la carta scelta. Prendete le carte, rimettetele insieme e cominciate a girarle: la carta prescelta dalla prima persona sarà esattamente nella posizione corrispondente al numero detto dalla seconda persona!
Come è possibile? Potete facilmente immaginare che il trucco sia legato alla base fattoradicale. In effetti i numeri da 0 a 23 possono essere scritti con al massimo quattro cifre fattoradicali, dove l’ultima è sempre 0 e possiamo toglierla. Se ora per esempio il secondo membro del pubblico ha scelto il numero 14, togliamo 1 e otteniamo 13, cioè
Ma c’è qualche proprietà più utile dei numeri in base fattoradicale? Lo vedremo la prossima volta! (no, quello non è un simbolo di fattoriale)
(immagine di xkcd, CC-BY-NC 2.5)
Ultimo aggiornamento: 2024-12-17 16:40
Ho notato che c’è una variante significativa: qui (e anche su Wikipedia, almeno nelle pagine che ho letto) si nomina lo 0! (zero fattoriale) come coefficiente della cifra meno significativa, che però non può essere diversa da zero e risulta quindi ininfluente nel risultato, mentre sia nella tabella A007623 – OEIS sia nell’immagine presente, di xkcd, il coefficiente della cifra meno significativa è 1! (uno fattoriale), che consente di distinguere immediatamente i numeri pari e quelli dispari, risultando quindi decisamente più intuitivo nell’utilizzo.
lo zero serve se vuoi andare avanti con i numeri razionali :-) (dovrei scriverne nella parte II)