Prendiamo il numero 742. Così ad occhio non ci dice molto; se però costruiamo una successione simil-Fibonacci partendo dalle sue cifre, sommandole e continuando a sommare gli ultimi tre numeri ottenuti ricaviamo

7, 4, 2, 13, 19, 34, 66, 119, 219, 404, 742, 1365, …

Come vedete, a un certo punto della successione otteniamo il numero di partenza. I numeri che hanno questa proprietà si chiamano numeri di Keith, dal nome del matematico Mike Keith che li propose nel 1987. (Per completezza lui li definì “repfigit”, nel senso di “cifre di Fibonacci replicate”)

I numeri di una cifra sono banalmente di Keith, ma non li si considera tali perché sarebbe barare. Il più piccolo numero di Keith in base 10 è così 14 (1, 4, 5, 9, 14), seguito da 19, 28, 47, 61, 75, 197 e appunto 742. Non si sa molto su questi numeri: nemmeno se sono finiti o infiniti in una data base. Keith ha congetturato che se si lavora in base 10 ci siano in media tre numeri di Keith con un numero dato di cifre; ma il valore è molto variabile, visto che ci sono 10 numeri di Keith di 6 cifre e 7 di 27 cifre, ma non ce ne sono con 10 cifre e ce ne sono solo uno di 24 e 25 cifre rispettivamente. Nonostante alcune tecniche permettano di ridurre la quantità di conti da fare, trovarli è molto laborioso, perché essenzialmente richiede un approccio a forza bruta: fino al 2009 si conoscevano solo 95 numeri di Keith, tutti quelli con al più 34 cifre. Ma nel dicembre 2022 il matemago Toon Baeyens dell’università di Gand ne ha trovati altri nove, di 35 e 36 cifre, portando il totale a 104. Il più grande numero di Keith conosciuto è pertanto 880430656963418264331749765271577784.

La figura all’inizio, che mostra i divisori (piccoli) dei primi 94 numeri di Keith, mostra un comportamento un po’ buffo: certi fattori primi proprio non appaiono, mentre gli altri seguono più o meno il comportamento che ci aspetteremmo da un insieme di numeri, che cioè una frazione 1/p di essi fosse divisibile per p. È un caso? secondo me sì, ma non ditelo in giro :-) Purtroppo la teoria dei numeri è piena di proprietà come questa, di cui si può dimostrare ben poco: se siete ottimisti è un segnale di come la struttura dei numeri sia incredibilmente complessa, se siete pessimisti è un segnale di come la struttura dei numeri sia incredibilmente incasinata…

(figura da Numbers Aplenty)