Definiamo un numero paladino se il numero dei suoi divisori (positivi) è pari al numero di cifre del numero stesso. I numeri paladini di due cifre saranno pertanto tutti e soli i numeri primi tra 11 e 97: infatti per definizione ciascuno di questi numeri ha solo due divisori (1 e sé stesso), mentre gli altri ne hanno di più.
Due domande (più una di bonus):
- Quali sono i numeri paladini di tre cifre?
- Trovate un numero paladino di quattro cifre minore di 1300.
- (bonus) Trovate un numero paladino di sei cifre minore di 110000.
(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p136.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema tratto da Gifted Mathematics. Immagine da Wikipedia – Rolandfealty.jpg
Ultimo aggiornamento: 2016-06-07 14:35
i numeri paladini di tre cifre non possono che essere i quadrati dei numeri primi da 11 a 31 che risultano divisibili per 1, per il numero stesso e per il numero primo di cui sono il quadrato:
121 è divisibile per 1,11,121
169 è divisibile per 1,13,169
etc….
quindi numeri paladini di tre cifre sono 7: 121,169,289,361,529,841,961
i numeri paladini di 4 cifre sono i numeri semiprimi superiori a 1000 in quanto risultano divisibili per 1, per il numero stesso e per i due numeri primi di cui risultano il prodotto.
Sono naturalmente parecchi i numeri paladini di 4 cifre inferiori a 1300:
il primo è 1003: divisibile per 1,17,59,1003
l’ultimo è 1299: divisibile per 1,3,433,1299
Per quanto riguarda i numeri paladini di 6 cifre inferiori a 110000:
il primo è 100.017: divisibile per 1,3,9,11113,33339,100017
l’ultimo è 109.948. divisibile per 1,2,4,27487,54974,109948
Bisogna mettersi a fare un po’ di prove su come si accoppiano tra loro i divisori primi dei numeri.
Per questo credo di aver capito che:
a) sono i quadrati dei primi, da 121 = 11^2 a 961 = 31^2
b) va bene il prodotto di due primi distinti come ad es. 1073 = 29 * 37
c) il quadrato di un primo per un diverso primo darebbe un numero con sei divisori; l’11 messo in bella vista mi ha suggerito di cercare un quadrato di un primo che fosse poco inferiore a 10000, e, ad esempio, con 97, che al quadrato fa 9409, trovo 103499 = 11 * 97^2.