Esistono numeri quadrati che terminano con un numero a piacere di zeri: per esempio, 1002=10000 e 10002=1000000: non consideriamoli perché sennò non ci si diverte. Esistono però anche numeri quadrati che terminano con un certo numero di cifre consecutive (diverse da zero) uguali: per esempio 122=144 termina con due 4. Esiste un numero massimo di cifre consecutive finali possibili. Qual è questo numero, e qual è il più piccolo quadrato con questo numero di cifre consecutive finali possibili? Per esempio, il numero potrebbe essere 5, e il quadrato più piccolo con cinque cifre consecutive finali essere 314155555; peccato che quel numero non sia un quadrato.
(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p111.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema tratto da Henry Dudeney, 536 Puzzles and Curious Problems (n. 104).)
Ultimo aggiornamento: 2016-06-02 22:16
La risposta è
yn fgrffn pur unv pvgngb ary grfgb, pvbè vy znffvzb ahzreb qv pvser è qhr r vy cvù cvppbyb ahzreb pur yn ernyvmmn è qbqvpv.
Ma non so dimostrarlo senza forza bruta.
le ultime due cifre dei quadrati si ripetono ogni 50 numeri e vi sono solo due casi di cifre ripetute: 00 e 44.
Non considerando il caso banale dello 0 finale ripetuto, il 44 finale si ottiene per numeri che terminano per 12, 38, 62, 88.
Beh non volendo esagerare nella ricerca, mi fermo al 38 il cui quadrato è 1444: primo quadrato con 3 cifre ripetute.
basta o bisogna proseguire?
Con Excel (si fa per dire: con OpenOffice Calc) ho preparato una tabella dei primi 10000 quadrati, e delle classi di resto modulo 1000 e 10000. La sequenza delle ultime cifre si ripete ogni 500 numeri mod 100, e ogni 5000 numeri mod 10000. Immagino che questo pattern continui. Però le cifre ripetute si fermano a 444 e non capisco perché…
Ah ecco, quindi ho sbagliato perché, per motivi oscuri, non ho proseguito l’indagine.
Marco, sì, giunti a metà modulo i quadrati si ripetono al contrario perché, ad esempio, 501 = -499 e quindi 501^2 = (-499)^2 = 499^2, il tutto mod 1000.
Comunque ora che ho proseguito l’indagine mi sento di dire che la risposta giusta è quella di Antmot.
Lavoro mod 100: faccio i quadrati di tutti i numeri e trovo quali danno un numero di due cifre ripetute. Sono solo quattro, che danno sempre 44, e cioè: 12, 38, 62, 88.
Mi sposto su mod 1000 e faccio i quadrati di tutti i numeri che terminano con i 4 numeri trovati prima. Ne trovo altri 4 che danno come risultato tre cifre uguali, che ovviamente non possono essere altro che 444, cioè: 38, 462, 538, 962.
Passo al mod 10000 e ripeto il procedimento, facendo i quadrati di tutti i numeri che terminano con i numeri trovati (ma 38 deve diventare 038). Non trovo niente che mi dia 4444, perciò ho paura che la ricerca finisca qui.
@Valerio: ho visto che non ci sono quadrati che danno 4444 mod 10000, ma non capisco perché, e non saprei da che parte iniziare una dimostrazione (supponiamo per assurdo che esista… e poi?) Così non è solo una congettura? Cosa succede con le altre potenze di 10?
@marco b.: per la dimostrazione basta usare un po’ di proprietà dei binomi