Avete due numeri positivi a > b, e sapete che a2 + b2 = 6ab. Dimostrate che (a+b)/(a–b) = √2.
(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p103.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Il problema è tratto da Proofs from the Book)
Ultimo aggiornamento: 2016-06-02 22:11
Meno male che stavolta non mi hai messo i calcoli elementari.. :-)
Allora..:
-> (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab
-> (a-b)^2 = a^2 + b^2 – 2ab
Per cui:
(a+b)^2 / (a-b)^2 = (a^2 + b^2 + 2ab) / (a^2 + b^2 – 2ab)
Sostituendo a a^2 + b^2 il 6ab avremo:
(a+b)^2 / (a-b)^2 = 8ab / 4ab = 2
Facciamo la radice quadrata di entrambi i membri, possibile nel campo dei reali non immaginari solo se a>b e avremo il risultato.
Bah… forse la faccio troppo semplice ma basta partire dalla seconda uguaglianza e con banali passaggi algebrici (si moltiplica dapprima il tutto per a-b, poi si elevano entrambi i membri al quadrato -l’ipotesi a>b aiuta a fare la cosa senza grossi retropensieri- un po’ di somme algebriche) e si ottiene la prima uguaglianza
è sufficiente?
se
a^2+b^2=6ab allora a^2+b^2+2ab=8ab ed anche a^2+b^2-2ab=4ab
allora
(a^2+b^2+2ab)/(a^2+b^2-2ab)= 8ab/4ab
(a+b)^2/(a-b)^2 = 2
(a+b)/(a-b)=sqr(2)
è corretto?
Dall’uguaglianza data si trova facilmente un’espressione per (a+b) 2 e una per (a-b)2, il cui rapporto è…
Simpatico problema, che usa l’algebra di prima superiore in modo semplice, ma non banale. Mi ricorda un bell’articolo che Giovanni Prodi e Vinicio Villani scrissero negli anni ’80: “Anche il calcolo letterale può essere intelligente”