In un articolo apparso il secolo scorso sul bollettino parrocchiale di Villar Perosa, si racconta che il senatore Giovanni Agnelli in persona premiò un contadino che aveva nove figli per una curiosa proprietà aritmetica. Tutti i figli erano infatti nati allo stesso numero di anni di distanza l’uno dal successivo; ma soprattutto la somma dei quadrati delle loro età in quell’anno era pari al quadrato dell’età del contadino. Quali erano queste età?
(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p054.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Il problema è tratto da Henry Dudeney, 536 Puzzles and Curious Problems)
Ultimo aggiornamento: 2016-05-31 12:31
Ho trovato due soluzioni:
i) il primo figlio di 2 anni e la distanza tra di loro 3 anni (2, 5, 8, 11, …); il padre avrebbe 48 anni.
ii) il primo figlio avrebbe 4 anni e la distanza tra di loro 6 anni (4, 10, 16, 22, …); il padre avrebbe 96 anni. Fisiologicamente possibile per lui (avrebbe cominciato a figliare a 44 anni e finito a 94), ma probabilmente ha avuto più di una moglie.
Ci sono ovviamente altre soluzioni, ma si cade un po’ nel ridicolo (il contadino avrebbe più di 130 anni)
@fabrizio: per curiosità, le soluzioni le hai trovate con excel o simili, oppure con degli shortcut?
ovviamente anche “il primo figlio ha 8 anni e la distanza è di 9” è una soluzione, ma il padre avrebbe 144 anni.
La soluzione chiusa te la scrivo appena ho 10 min..
Ecco come l’ho risolto (l’eleganza non appartiene agli ingegneri!)
Sia x l’età del figlio più piccolo, n la distanza tra i figli in anni e a l’età del padre. Abbiamo:
x^2+(x+n)^2+…+(x+8*n)^2=a^2
Sviluppando i polinomi abbiamo:
9x^2+72nx+204n^2=a^2
Siano x e n interi, li rappresentiamo con una relazione del tipo:
x=2i
n=3i
Per cui il polinomio diventa:
48i=a
Avremmo quindi le sequenti soluzioni:
Per i=1 -> x=2, n=3, a=48
Per i=2 -> x=4, n=6, a=96
e via e via.
Come ho messo x e n rispetto a i lo spiego un’altra volta :-)
Se si piglia come x l’età del figlio n° 5 il polinomio si semplifica abbastanza
9x^2 + 60n^2 = a^2
con x >= 4, n >= 1, x >= 4n
Impostando con un foglio excel si ritrovano le stesse soluzioni di Fabrizio
Ci sono un po’ di soluzioni intere per n=6, a patto che si accetti che un po’ dei figli abbiano età negative :-)
@mosk: ottima idea, quella di semplificare l’equazione (anche se si perde la diofantinità e quindi bisogna fare controlli ulteriori a posteriori, come tu stesso hai fatto notare… e non credo che il gazzettino di Villar Perosa avesse assoldato un veggente!)
@mau: perche’ si perde la diofantinita’?
Non sono riuscito a risolvere l’equazione; inizialmente avevo pensato all’ipotesi che la differenza d’eta’ tra i figlio fosse una frazione di anno (per esempio 9 mesi). Potrebbero esserci soluzioni anche in questo caso.
@paolo c.: generalmente le equazioni diofantine sono a soluzioni intere positive, ma una soluzione intera positiva a quell’equazione modificata non è detto sia una soluzione al problema originale: il guaio è questo.
Soluzioni frazionarie sono possibili, ma diventano meno pratiche, perché significherebbe calcolare tutte le età al singolo giorno, no?
@mau: in realta’ pensavo di ragionare in termini di anni compiuti. Per esempio i due figli piu’ giovani (quello nato ieri e quello nato 9 mesi fa) hanno entrambi zero anni.
Confermo che mi sono mosso nel dominio N+. Su N o su R sarebbe stata molto facile. PS: la soluzione mi ha fatto pensare di primo acchitto ad una serie numerica ancora più semplice, ma mi sono bloccato su un passaggio. Ci riprovo forse domani, che qui è festa nazionale..