Avete un bellissimo pavimento quadrato di lato n×n che volete tassellare con listelli di parquet di dimensioni 1×2, con l’ulteriore regola che i listelli orizzontali devono essere lo stesso numero di quelli verticali, il tutto ovviamente senza tagliare alcun listello. Qui sotto vedete una soluzione per n=8. Per quali valori di n è possibile?
![[tassellazione]](https://i0.wp.com/xmau.com/quizzini/q046a.png?w=625)
(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p046.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì.)
Ultimo aggiornamento: 2016-05-31 12:22
Cominciamo:
per n dispari, non c’è gara: un numero disparri di quadratini non sarà mai ripoerto da un unumero intero di rettangoli 2×1
Guardiamo i quadrati con lato n pari
n= 2, impossibile
n= 4. facile Trale soluzioni, ad esempio, quattro piastrelle orizzontali in alto, e quattro verticali in basso
La risolvibilità del caso n=4 “copre” automaticamnete tutti i casi di quadrati con lato n pari e multiplo di 4. Oltre alla soluzione asimmetrica proposta, infatti, il caso 8×8 può essere risolto ripetendo 4 volte la soluzione 4×4. E così via.
Rimangono da valutare i casi come 6,10,14, eccetera.
Lascio ad altri l’onere
Ammettendo che si possa fare un tassellamento completo di un quadrato con lato n pari, si vede che in ogni riga ci devono essere un numero pari di listelli verticali (altrimenti avanzerebbe un quadratino vuoto). Questo vuol dire che il numero totale di listelli verticali deve essere pari. Lo stesso ragionamento si applica alle colonne ed ai listelli orizzontali. Quindi il numero di listelli di ogni colore è un numero pari 2m e il numero totale di listelli ha la forma 4m.
I quadrati 6×6 10×10 ecc. non sono tassellabili con un numero uguale di listelli orizzontali e verticali, perchè la metà del numero di listelli necessario a ricoprirne la superficie è un numero dispari, ad es:
6×6 –> 36 quadretti –> 18 listelli –> 9 listelli per colore
e questo non può essere per quanto detto prima
Eliminare il 6, 10 eccetera è il bello del quizzino ;).
I quadrati con lato dispari diventano però tutti tassellabili se si toglie il quadratino centrale: è facile vedere che lo è il quadrato 3×3 e gli altri si possono facilmentecostruiscono da quello.
Lo sono anche se si toglie un quadrato d’angolo?
@mosk: per i quadrati di lato 4n+1 sì; per quelli di lato 4n+3 mi sa di no, ma lascio la dimostrazione al lettore :-) (come aiutino, direi di considerare i due quadretti vicino a quello mancante)