Una delle cose più o meno inutili che piacciono ai matematici è vedere come è possibile ricoprire perfettamente il piano (“tassellarlo”) con figure “carine”. Ad esempio, ci sono diciassette tassellature regolari fondamentalmente distinte, come si può leggere ad esempio su Wikipedia e come sfruttato da Mauritz Cornelius Escher nelle sue litografie. Se si vuole tassellare il piano usando un singolo poligono regolare le uniche possibilità sono date da quadrato, triangolo equilatero ed esagono regolare; se si ammette l’uso di poligoni regolari diversi e si aggiungono però i vincoli di non scorrimento (ogni lato di un poligono combacia esattamente con un lato di un altro poligono) e di identificazione dei vertici (ogni vertice della figura è indistinguibile dagli altri) ci sono solo 11 possibilità.
Ma la cosa più interessante è riuscire a trovare una tassellatura aperiodica del piano; un insieme di figure che ricoprono sì il piano, ma senza nessuna simmetria di traslazione. Detto in altre parole, se avessimo due fogli infiniti di carta con una tassellatura aperiodica del piano che non possono ruotare ma solo scorrere nelle due dimensioni, l’unico modo per sovrapporli esattamente è non spostarli affatto. La cosa sembra incredibile, ma è possibile costruire una simile tassellatura usando solo due rombi, uno più cicciotto e uno più smilzo; Roger Penrose e Robert Ammann hanno mostrato nel 1974 come sia possibile farlo, ottenendo una tassellatura che ha solo una simmetria di rotazione, di 72 gradi per la cronaca. Un altro modo per fare una tassellatura di Penrose consiste nell’usare un quadrilatero convesso (“kite”) e uno concavo (“dart”), come forse avrete visto da qualche parte.
Il Sacro Graal della tassellatura consiste nel trovare una singola forma che ricopra il piano solamente in maniera aperiodica; potete immaginare come io sia saltato sulla sedia dopo aver letto su MathPuzzle che una piastrella simile era stata trovata! Poi sono andato a leggere l’articolo su arXiv (PDF), e ho purtroppo scoperto che la notizia era stata molto pompata. La piastrella esagonale mostrata qui sopra, con le regole indicate nell’articolo, in effetti ricopre il piano in maniera aperiodica, ma non è possibile modificarla aggiungendo denti e buchi in modo che quello sia l’unico modo per tassellare il piano. Gli autori si arrampicano sugli specchi dicendo che però si può forzare l’aperiodicità se a partire dalla piastrella si disegna una figura non semplicemente connessa (composta cioè di pezzi staccati che però per decreto sono considerati parti della stessa forma) oppure andando sulle tre dimensioni, manco fossimo al cinema.
Intendiamoci: il risultato è sicuramente interessante, ma non è la notiziona che ci si aspettava; potete ancora andare alla caccia della tassellatura aperiodica!

Ultimo aggiornamento: 2010-04-13 07:00