Alle Cenerentoliadi del gennaio scorso c’era questo problemino matematico. Non è difficile da risolvere, diciamo che i più esperti possono provare a farcela senza fare conti e i solutori più che abili possono provarlo a risolvere tutto a memoria; però il problema è comunque alla portata dei ragazzi delle medie.
Avete i dodici numeri da 110 a 121 e dovete associare a ciascuno di essi un numero da 1 a 12 (tutti diversi, naturalmente), in modo che ciascun numero aggiunto sia un divisore di quello iniziale. Per fare un esempio, se poteste usare i numeri da 1 a 15 e aveste anche il 105, visto che 105=3*5*7 potreste associargli 1, 3, 5, 7 oppure 15=3*5. Nel nostro caso, a 120 si può associare 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 oppure 12. La soluzione è unica.
Ultimo aggiornamento: 2010-02-03 07:00
Fatto.
Con carta, penna e qualche colpo di $ factor.
@diego: usare factor è barare.
@.mau.: factor è solo la versione comoda del foglietto con la riga verticale per la scomposizione in fattori primi :-D
@diego: appunto. Numeri così piccoli si fattorizzano a mente ;-P
fatto, usando solo notepad per annotare quelli trovati. Si potrebbe anche presentarlo senza dire che la soluzione e’ unica.
Non ho capito ha cosa serve il foglietto e non so cosa sia $ factor. Potrebbe essere un bell’esercizio di algebra.
Siano dati interi positivi n e b. Sia A={1,…,n} e B={b,b+1,…b+n-1}.
Si diano criteri necessari e/o sufficienti perché esista una bigezione f:A->B tale che a divide f(a) per ogni a in A. In caso tale bigezione esista, se ne discuta l’unicità.
Domanda per la lode: cosa cambia se si sceglie b negli interi di Gauss?
Quanto mi piacerebbe fare algebra una volta.
$factor serve a far fare al compiuter quello che qualcun altro fa col foglietto.
Condizione sufficiente per la biiezione è che b=1 :-P; per altre condizioni, più che algebra mi sa occorra teoria dei numeri, visto che devi trovare come minimo una successione di interi con un solo numero primo al suo interno.
Passando agli interi di Gauss, non vedo a questo punto perché limitarsi alla successione ottenuta sommando uno, sarebbe più divertente studiare i numeri sul quadrante positivo con modulo compreso tra m e n, no?