La scommessa di Monty Hall

Il paradosso di Monty Hall è stato uno dei pochissimi argomenti di matematica ad avere l’onore della prima pagina del New York Times, giusto per dare un’idea di quanta fama ha avuto negli anni ’90: probabilmente perché è così controintuitivo che molte persone, anche versate in matematica e probabilità, sbagliano la risposta. Per chi non lo conoscesse, ecco il testo: leggetelo molto attentamente, perché non c’è nessun trucco sotto ma la formulazione deve essere assolutamente precisa.
Sei alla fase finale dello show condotto da Monty Hall. Hai davanti a te tre porte; dietro una di esse c’è una Ferrari, dietro le altre due una capra. Tu scegli una porta, e vincerai quello che ci sta dietro. Dopo che hai fatto la tua scelta, Monty – che sa dov’è nascosta la capra – ti dice “Beh, oggi mi sento buono e ti voglio aiutare: invece che una probabilità su tre di vincere la Ferrari, te ne voglio dare una su due. Guarda: in effetti una delle porte che non hai scelto nascondeva una capra”. Apre una porta e mostra l’ovino belante. Monty prosegue: “Questa è la tua ultima possibilità: preferisci cambiare la tua scelta o rimani sulla porta iniziale?”
Per essere ancora più chiari, ecco alcune precisazioni. Dietro una delle tre porte c’è la Ferrari, e voi volete vincerla; Monty Hall sicuramente apre una porta con dietro una capra, tra le due che non avete scelto; se può scegliere quale porta aprire perché entrambe nascondono una capra, sceglie a caso; voi siete sicuri che vi faccia l’offerta in ogni caso. Ora, molte persone dicono che è indifferente cambiare porta oppure no; la verità è che cambiare porta raddoppia le vostre probabilità di vincita, da 1/3 a 2/3.
In tutti questi anni ho visto moltissime persone che non sono affatto convinti di questa cosa, e non sono mai riuscito a convincerli. La cosa strana è che però nessuno ha mai voluto fare una scommessa multipla al riguardo con me, chissà perché. Riprovo ancora una volta; sono sempre pronto ad accettare la sfida. Ecco la mia versione del gioco per la scommessa; se qualcuno non è d’accordo sul fatto che sia la stessa cosa, parliamone.
Prendiamo un’estrazione futura del lotto, a tua scelta. Ci sono 11 ruote – hanno aggiunto la Nazionale a quelle classiche – e quindi vengono estratti 55 numeri. I numeri da 1 a 30 sono nella classe “1”; quelli da 31 a 60 sono nella classe “2”; quelli da 61 a 90 sono nella classe “X”. Prima dell’estrazione, tu dici a che classe apparterrà ciascun numero; dopo l’estrazione, senza che tu sappia quali numeri sono effetivamente usciti, io ti dirò per ciascun numero una classe (diversa da quella che hai scelto) a cui il numero non appartiene; a questo punto, visto che per te è indifferente cambiare o no, ti propongo di puntare 4 euro su ciascuna tua scelta. Se non avevi indovinato, mi intasco i soldi; se invece avevi indovinato te li ridò assieme a 5 euro miei.
Come per i polli di Trilussa, su 55 giocate ne dovresti in media vincere 27 volte e mezzo, e quindi guadagnare 27,5 euro; se anche sei parecchio sfortunato e vinci solo 25 volte perdendo 30, hai ancora 5 euro di margine. C’è un piccolo problema legato al fatto che i numeri estratti su una ruota non sono statisticamente indipendenti, ma se la cosa ti disturba possiamo prendere i primi estratti di cinque estrazioni consecutive. Facciamo la scommessa? Anzi guarda, per dimostrarti che non c’è trucco né inganno ti posso dire in anticipo quale classe ti dirò essere perdente, a seconda della tua scelta e del numero effettivamente estratto; così puoi calocare direttamente anche tu quanti soldi vincerai…
– Tu hai detto 1, è uscito 2; ti dirò che X è perdente.
– Tu hai detto 1, è uscito X; ti dirò che 2 è perdente.
– Tu hai detto 1, è uscito 1; se il numero estratto è pari, ti dirò che X è perdente, altrimenti ti dirò che 2 è perdente.
– Tu hai detto 2, è uscito 1; ti dirò che X è perdente.
– Tu hai detto 2, è uscito X; ti dirò che 1 è perdente.
– Tu hai detto 2, è uscito 2; se il numero estratto è pari, ti dirò che 1 è perdente, altrimenti ti dirò che X è perdente.
– Tu hai detto X, è uscito 1; ti dirò che 2 è perdente.
– Tu hai detto X, è uscito 2; ti dirò che 1 è perdente.
– Tu hai detto X, è uscito X; se il numero estratto è pari, ti dirò che 2 è perdente, altrimenti ti dirò che 1 è perdente.
Sei pronto? Ti aspetto… (e la prossima settimana racconterò ancora qualcosa a riguardo)

Ultimo aggiornamento: 2009-09-26 22:44

10 pensieri su “La scommessa di Monty Hall”

  1. Fang

    Notevole semplificazione.
    Tanto per curiosità, ma a te il problema originario risultò di immediata soluzione? No, perché se è così ti dico subito che ti odio. :P

  3. Fabio Forno

    No, non scommetto ;) Però mi spieghi perché i numeri di una ruota non sono statisticamente indipendenti? (magari ignoro solo qualcosa del lotto, perché proprio non ci arrivo)

  4. .mau.

    se il primo estratto è della classe X, visto che non può essere riestratto come secondo significa che è leggermente meno probabile che anche il secondo sia della classe X, no?

  6. dioniso

    Tempo fa ebbi anch’io una lunga e accesa discussione con un amico insegnante di filosofia. Non riuscii a convincerlo neppure dopo aver fatto vari esempi: lui, suo figlio ed io che giocavamo con delle caramelle. Alla fine chiusi la discussione per sfinimento sentendomi piuttosto depresso.
    Tempo dopo il figlio del mio amico mi disse che suo padre riflettendo sulla nostra discussione si era infine convito. E in seguito mi accorsi che cercava pure di proporre il gioco ad amici e parenti cercando di convincere gli increduli con un atteggiamento piuttosto saccente.
    Saluti

  7. Ugo

    Per me il ragionamento convincente consiste nel modifcare il gioco in questo modo:
    Hai davanti a te mille porte, dietro una delle quali c’è una Ferrari. Dietro le altre 999 c’è una capra. Ne scegli una e Monty te ne apre 998, dietro le quali c’è una capra: pensi ancora che cambiare o rimanere siano indifferenti? Se lo pensi, vuol dire che la tua prima scelta era al 50% quella giusta, nonostante le probabilità fossero di una su mille.

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