La matematica delle creme solari

God Plays Dice riporta un articolo del New York Times sulle creme solari, o più precisamente sui fattori di protezione indicati sulle creme.
Cosa significa “fattore di protezione N”? Vuol dire che la dose consigliata di crema lascia passare soltanto una parte su N dei raggi ultravioletti; se preferite vederla in un altro modo, moltiplica per N la quantità di tempo che potete stare al sole senza bruciarvi (almeno in teoria, visto che la crema si assorbe, se ti fai il bagno se ne va via, ecc. ecc. Notate la parolina magica “la dose consigliata”; è una quantità enorme, tipo 30 grammi, che nessuno si metterebbe mai visto il prezzo delle cremine.
Bene, supponiamo che io abbia la mia bella cremina protezione 16 e me ne metta addosso solo quindici grammi invece che trenta. Qual è la mia protezione equivalente? La metà, cioè 8? No. È la radice quadrata, cioè 4! Come Isabel fa notare, la cosa ha un senso: se noi prendiamo uno strato standard di crema a protezione 4 ci arriva solo un quarto degli ultravioletti; con un secondo strato ce la fa solo un ulteriore quarto, vale a dire un sedicesimo. I conti esatti sono leggermente diversi, visto che la matematica è solo un’approssimazione della vita reale, e visto che la protezione non è uniforme su tutte le frequenze di ultravioletti il risultato è un po’ minore; ma l’idea è quella. Se doppio strato di crema protezione 4 dà una protezione 16, chiaramente metà strato di una crema protezione 16 darà una protezione 4, no?
Il tutto non è solo una curiosità: è anche un modo per mostrare come una funzione oggettivamente poco comune come la radice quadrata possa apparire in maniera naturale anche nella vita, se non proprio di tutti i giorni, almeno di tutte le estati. God Plays Dice arriva anche a far notare che per confrontare il costo di due diversi tubetti di crema occcorre dividere il prezzo non solo per il volume dei tubetti ma anche per il logaritmo dei fattori di protezione: ma qua forse si esagera con la matematica!

Ultimo aggiornamento: 2009-05-15 07:00

3 pensieri su “La matematica delle creme solari

  1. J B

    Ehm… Non sono un esperto di creme protettive ma il ragionamento non mi suona assolutamente per niente. Una crema funziona (immagino) assorbendo i raggi UV prima che penetrino nella pelle. In pratica io mi spalmo addosso uno strato (immaginiamo uniforme) piuttosto sottile di crema e questa assorbe una certa frazione dei raggi UV. Per calcolare la frazione assorbita è necessario sapere la lunghezza di assorbimento (o il coefficiente di assorbimento che tanto sono l’uno l’inverso dell’altro) e lo spessore dello strato. La lunghezza di assorbimento si misura in laboratorio in modo banale, lo spessore invece immagino venga stimato empiricamente dai produttori di creme. Il punto è che, tenendo fissa la lunghezza di assorbimento, la quantità assorbita dipende “esponenzialmente” con lo spessore. Questo fintanto che lo strato è sottile: quando sulla pelle inizia a vedersi il bianco della crema la dipendenza diventa più forte che esponenziale (il calcolo esatto non è difficile da fare ma la formula finale è piuttosto ingombrante e quindi ve la risparmio).
    N.B. (qui andiamo un po’ sul tecnico, leggete a vostro rischio e pericolo)
    Se ciascuno strato successivo di crema assorbe una eguale frazione di luce UV (ipotesi assolutamente plausibile fintanto che lo strato è sottile) posso scrivere dI=-k I dL dove “I” è l’intensità della luce ultravioletta, “k” è il coefficiente di assorbimento e “d” è il differenziale (e quindi “dI” è la variazione dell’intesità e “dL” lo spessore infinitesimo dello strato). Dividendo da entrambi i lati per “I” ed integrando si trova che l’andamento dell’intensità residua decade esponenzialmente con lo spessore L. Nessuna radice da nessuna parte. Sorry ;-)

  2. Il barbarico re

    Il ragionamento di JB è giusto se consideriamo la crema solare come uno un vetro non perfettamente trasparente e se la il numeretto sulla crema fosse proporzionale al coefficiente di riflessione, ma non è così.

    A sunscreen’s SPF number is calculated by comparing the time needed for a person to burn unprotected with how long it takes for that person to burn wearing sunscreen.

    Quindi tutte ‘ste elucubrazioni su esponenziali e radici quadrate non sono molto fondate.

    I conti esatti sono leggermente diversi, visto che la matematica è solo un’approssimazione della vita reale,

    La fisica è solo un’approssimazione della vita reale, la matematica non è l’approssimazione di niente!
    (sentitevi liberi di sostiture fisica con qualsiasi altra scienza sperimentale)

  3. Barbara

    @JB Stai dicendo quel che dice .mau. Se hai una funzione esponenziale, applicarla al valore metà dà come risultato la radice quadrata. .mau. non vuol dire esponenziale per non far piangere i lettori che hanno fatto solo le medie/l’avviamento professionale/il liceo classico :-).

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