Non so se è tempo di compiti per le vacanze o se Yahoo! Answers picchia come sempre duro, ma una ventina di minuti fa qualcuno è arrivato sul mio blog facendo la ricerca sulla frase “si lanciano due dadi trovare la probabilità che la somma dei due punteggi sia divisibile per tre“.
Questo è il classico problema che si può affrontare alla maniera dell’ingegnere (si calcolano le probabilità di ciascun risultato multiplo di tre possibile lanciando due dadi, e le si sommano), oppure alla maniera matematica, dove si fa una fatica boia per trovare un sistema per non far fatica a fare i conti (anche perché non è affatto vero che i matematici li sappiano fare, i conti!)
Come lo risolverebbe un matematico? Beh, inizierebbe a lanciare il primo dado. C’è una probabilità 1/3 che si ottenga un multiplo di tre (caso A), una probabilità 1/3 che si ottenga un valore che diviso per tre dia resto 1 (cioè si ottenga 1 o 4: caso B), una probabilità 1/3 che si ottenga un valore che diviso per tre dia resto 2 (caso C). Lanciando un secondo dado, per avere la somma multipla di tre possiamo partire dal caso A e avere di nuovo un multiplo di tre (probabilità 1/9), oppure dal caso B e ottenere 2 o 5 (probabilità 1/9) oppure dal caso C e ottenere 1 o 4 (probabilità 1/9). Totale delle probabilità: 1/3.
Immagino che a questo punto gli “ingegneri dentro” mi diranno che il mio approccio è più lungo del loro, e non hanno tutti i torti. Supponiamo però che adesso ci venga chiesto “e se lanciamo cento dadi, qual è la probabilità di ottenere un risultato multiplo di tre?” In questo caso, mettersi a fare tutti i conti è improponibile: invece con l’approccio qui sopra si vede che anche dopo il secondo lancio le probabilità di avere resto 0,1,2 sono sempre 1/3, 1/3 e 1/3 ed è immediato che a ogni lancio successivo del dado queste non possono variare: siano due, dieci, cento lanci la probabilità finale di avere un risultato multiplo di 3 è 1/3. QED.
La morale di questa favola non è “il metodo matematico funziona meglio di quello ingegneristico”, quanto piuttosto “a volte, generalizzare il problema rende più facile trovare la soluzione”. Se vi avessi subito proposto la versione “cento lanci”, probabilmente vi sareste messi a cercare una soluzione sulla falsariga della mia; con i due lanci, non vi sarebbe nemmeno venuto in mente di fare così. Il metodo si può anche applicare alla vita reale (ogni tanto, si intende!)
Ultimo aggiornamento: 2008-07-12 12:37
Infatti, anche nella scienza della programmazione informatica o della progettazione in genere, il fatto che il sistema debba scalare fino a cento lanci o fermarsi a due ha un impatto fondamentale sulla scelta del metodo di risoluzione del problema. Non è affatto vero che un ingegnere sceglierebbe sempre il metodo “bottom up” o sperimentale, semplicemente farebbe un primo calcolo alla buona per capire la complessità dei due metodi nel caso specifico che deve risolvere, si chiederebbe quante siano le chance che il caso specifico cambi in corso d’opera con ciò modificando la valutazione, e poi sceglierebbe di conseguenza.
Quoto vb.
Da sviluppatore software, la prima domanda che mi faccio quando inizio un progetto è la seguente: “è meglio una soluzione rapida ma rigida o una più lenta ma flessibile?”. Se il progetto è breve e facilmente gestibile opto per la prima, se il progetto è lungo o facilmente prono a molte modifiche o difficile da gestire o voglio riutilizzare in seguito parti del codice opto per la seconda.
Un ragazzino (quindi nè un ingegnere nè un matematico) si fa una brava tabella a doppia entrata e vede che, dei 36 casi possibili, 12 indicano un multiplo di 3.
A proposito: è più probabile che sia multiplo di 3 la somma oppure il prodotto dei punteggi?
@maurizio: però il ragazzino avrebbe comunque qualche difficoltà a fare la tabellona.
Per il tuo problema, lascio rispondere gli ingegneri :-)
Invece vorrei aggiungere un problema cattivo proposto a tutti. Se dovessi calcolare la probabilità che lanciando cento dadi il punteggio sia multiplo di cinque, come fareste?
Mau, io conosco un metodo ancora più rapido… vai all’ultima pagina e leggi la soluzione (sulla settimana enigmistica funzionava, ma sono anni che non ne vedo una, non so se sia ancora così).
Dai, a parte gli scherzi, concordo con vb. Il tipo di soluzione dipende dalla complessità del problema. E questo riguarda anche questioni di tutti i giorni, ben più terra terra del calcolo delle probabilità…
PS. A fare il calcolo sui multipli di 5 non mi ci metto neanche…
Dati n dadi, qualunque sia il risultato dei primi (n-1), solo 2 su 6 risultati del sesto daranno un numero divisibile per tre. Quindi la probabilità è un terzo. Vale anche per 2 e 6 al posto di tre.
Per il prodotto… non lo devo dire perché non sono un ingegnere :-).
Warning: matematica non elementare nel prossimo paragrafo. Devo solo far vedere a .mau. che, anche se non ho mai vinto neanche una caramella in una gara matematica, un pochino ci capisco anch’io.
Per il cinque, se tiro n dadi: considero separatamente i casi in cui escono 0 sei, un sei, eccetera. E’ facile vedere (con l’argomento precedente) che il cinque e’ equiprobabile fra tutti i casi in cui ci sono esattamente k sei, con k < n (fate finta che gli altri dadi n-k dadi abbiano cinque facce: ogni classe resto modulo 5 è equiprobabile, e aggiungerci il numero fisso che vi pare non cambia la situazione). Se escono tutti sei, ovviamente, il risultato e’ divisibile per cinque se e solo se lo e’ n.
Quindi la probabilita’ di avere somma divisibile per cinque e’ (6^n-1+e)/(5*(6^n)), dove e vale 1 se n è divisibile per 5 e zero altrimenti.
Non sapete cosa vuol dire “modulo”? a) non vi siete laureati in matematica b) non sapete di saperlo: tutti fate ogni giorno calcoli “modulo” 12 (sono le 11, ci vediamo fra 3 ore alle 2; 11+3=2).
Se vi dilettate di giochi matematici, comunque l’aritmetica modulare è una delle prime cose da imparare – così finalmente saprete perché funziona la prova del nove!
ecco, mi pareva che la mia dimostrazione fosse troppo complicata, ma ieri mi ero svegliato male…
(per il caso dei multipli di cinque, la dimostrazione “naturale” è ovviamente quella di Barbara)
….eh le ing non perdonano!
Ieri sera ho visto NUMB3RS…
Era molto più comprensibile :)
@Yuri: non direi una cosa del genere al grande pubblico, in effetti.
@luca: non sono un ingegnere.
@Barbara: scusa avevo letto male, acc. stamattina ero di fretta……comunque complimenti…
@VB et altri: vero che l’ingegnere fa quel tipo di valutazione, prima di addentrarsi nella soluzione del problema… salvo poi che 9 ingegneri su 10 (tra quelli che conosco io :P) scelgono l’approccio “rapido ma rigido” (che detta così fa molto viagra :D) per finire poi fregati in questa maniera. ;) :D
Bah
Io, da ingegnere, ho scelto il metodo matematico. Più intuitivo!
Per il prodotto, direi che la probabilità che un numero sia divisibile per 3 è pari alla probabilità che in almeno una delle estrazioni esca un numero divisibile per 3 (la formula è 1-(2/3)^n ). Anche senza pensare alla formula si può dire che la probabilità che esca un numero divisibile per tre cresce al crescere delle estrazioni mentre la probabilità che la somma sia divisibile per tre resta costante. Dato poi che nel caso del prodotto di un solo numero la probabilità è 1/3 risulta banale affermare che per n>1 la probabilità che il prodotto degli estratti sia divisibile per tre è maggiore della probabilità che lo sia la somma.
Lo so che ci sarete arrivati tutti ma si sa mai.
Ciao