giochiamo a dadi?

(ok, non ho scritto sulla tombola, anche se qualche idea ce l’ho. Però forse il concetto non è così diverso. E già che ci siete, fate un salto da proooof che spiega come funziona il gioco del 15!)
tre dadiOggi mi sento particolarmente buono e desideroso di farvi vincere un po’ di soldini: vi propongo quindi un gioco d’azzardo tutto per voi. Le regole sono semplicissime: voi scegliete un numero da uno a sei e fate la vostra puntata; a questo punto io lancerò tre dadi (che garantisco essere perfettamente equilibrati). Se uno dei dadi uscirà con il numero da voi puntato, vincete la posta giocata (in pratica, se avete puntato un euro ve ne darò indietro due); se i dadi con il vostro numero sono due, vincerete due volte la posta; se avete più culo che anima e tutti e tre i dadi mostrano il vostro numero, vi pagherò ben cinque volte la posta. Tutto qua: non c’è trucco non c’è inganno.
Pensateci un attimo: preso un singolo dado, avete una possibilità su sei che esca con il vostro numero, quindi se puntate sempre un euro vi succederà che in media ogni sei euro giocati ve ne tornano indietro due. I dadi sono tre, e assolutamente indipendenti tra loro: quindi il gioco sarebbe equo se con tre numeri uguali al vostro usciti vinceste tre volte la posta, ma io sono buono e in quel caso vi pago anche di più. Insomma, la cosa si direbbe interessante, no?
Molto interessante, direi… tanto che casinò di tutto il mondo prevedono questo gioco, anche se in genere non danno il mio superbonus. Come si può leggere su Wikipedia (inglese), il gioco si può trovare in Gran Bretagna (col nome di Crown and anchor, “corona e ancora”, perché i dadi usati hanno sulle facce i quattro semi delle carte da gioco e appunto una corona e un’ancora), negli Stati Uniti come Chuck-a-luck, nelle Fiandre come Anker en Zon, “ancora e sole”, in Francia come Ancre, Pique et Soleil, e addirittura in Vietnam come “bau bau micio micio”… no, scusate, Bau cua ca cop che non so assolutamente cosa significhi ma sembra usi delle belle immagini orientali al posto dei nostri semi, soli, e simili. Magari a questo punto vi sarà venuto qualche dubbio! Bene, sono qua per fugarveli.
Analisi del gioco
Per vedere come mai il banco ha un discreto vantaggio in questo gioco, il metodo che probabilmente viene in mente è provare tutte le 216 (cioè 6*6*6) combinazioni possibili lanciando tre dadi, calcolare la vincita in ciascuno di questi casi, e vedere se è maggiore o minore del numero di combinazioni possibili. Tranquilli, non ho nessuna voglia di farlo, sono quelle cose che vi fanno poi dire che odiate la matematica: e avete perfettamente ragione. La matematica non è “fare i conti”. Può essere in parte “sapere come fare i conti” (e poi infilarli dentro un programma al pc o anche solo un foglio excel), ma è soprattutto “vedere come si può arrivare alla soluzione del problema con la minore fatica possibile”… e ogni trucco, finché è “lecito” secondo le regole della matematica, è il benvenuto.
In questo caso, il metodo più semplice è pensare di puntare un euro su ciascuno dei sei numeri che possono uscire, e vedere cosa succede. In teoria dovremmo, almeno in media, ricevere sei euro o più per ogni possibilità. È proprio così? Vediamo.
– se i tre numeri che sono apparsi sono tutti diversi, vi tornano indietro tre degli euro giocati più tre di vincita: totale sei euro.
– se i tre numeri sono tutti uguali, vi torna indietro l’euro giocato su quel numero più cinque di vincita: totale sei euro.
– se ci sono due numeri uguali e un terzo diverso, vi tornano indietro due degli euro giocati, più uno di vincita per il singoletto, più due per la coppia: totale cinque euro.
Toh. Quando va bene siete in pareggio, ma ci sono delle volte in cui perdete; quindi in assoluto il gioco vi è sfavorevole. Fine della dimostrazione.
Purtroppo, per sapere quanto sia sfavorevole, bisogna fare i conti, e quindi devo andare contro quello scritto sopra su cos’è la matematica. Facciamo che vi fidate, e prendete per buono il risultato finale: una volta puntato su un numero prefissato, ci sono 75 casi in cui questo esca come singoletto, 15 in cui esce come coppia e uno in cui c’è la tripletta (negli altri casi non esce), il che con le regole che ho dato sopra significa un vantaggio per il banco praticamente del 7%, ben più ad esempio della roulette. State insomma ben lontani da chi vi propone questo gioco, lo dico per il vostro bene.
La spiegazione
Questo sembrerebbe proprio essere un paradosso: in fin dei conti il ragionamento iniziale secondo cui se il dato lanciato fosse stato uno solo si sarebbe in media rimasti con un terzo della posta non fa una grinza, e siamo tutti d’accordo che i tre dadi lanciati sono indipendenti tra loro… o no? abbiamo trovato una scoperta di importanza pari alla meccanica quantistica? Tranquilli, non è così. Nemmeno stavolta ci daranno il Nobel. Però, se guardate attentamente la dimostrazione “veloce” che ho scritto qui sopra per far vedere che il gioco non è equo, dovreste essere in grado di intuire dove sono “il trucco e l’inganno”. Se invece non avete proprio voglia di scervellarvi, continuate a leggere qui di seguito!
Il punto chiave che permette di capire cosa succede è fare attenzione a come vengono calcolate le vincite. I soldi che ti ritornano indietro sono in parte quelli della vincita vera e propria, ma in parte quelli che sono stati puntati. Quindi è vero che i risultati dei lanci dei dadi, intesi come numeri che escono, sono indipendenti tra di loro; ma il nostro risultato, inteso come i soldi che ci ritornano indietro, non lo è. Se abbiamo puntato un euro su un numero, con il primo dado che esce con quel numero ci tornano indietro due euro, ma con il secondo se ne aggiunge uno solo in più, e non due come nel caso di vera indipendenza.
È più chiaro adesso il tutto? Se no, potete sempre scrivermi :-)

Ultimo aggiornamento: 2007-12-05 11:58

6 pensieri su “giochiamo a dadi?

  1. ALG

    Prima ancora che mi spiegassi il trucco, prima ancora che ci pensassi, sapevo che il trucco c’era, ne ero certo, e non sopporto le persone che pensano di poter vincere al gioco. Se fosse vero i casinò sarebbero chiusi da un pezzo. (Ok, nei giochi di carte potresti vincere essendo in grado di contare le carte, in pratica sfruttando la non indipendenza statistica delle carte che escono a tuo favore, ma non è propriamente semplice)

  2. Nando

    Sono capitato nel tuo blog seguendo una ricerca per trovare il modo di denunciare il “mondo banco posta”.
    Ho trovato interessante la tua dimostrazione sul gioco dei dadi. Trovo però che ognuno è consapevole dell’esistenza del trucco. Molti, però, sono coloro che ci cadono. Talora anche insospettabili amici.
    Forse è qualcosaltro che ci spinge ad accettare il rischio.

  3. Clelia

    Mau, ma quanto ci hai messo a scrivere tutta questa spataffiata? :-)))
    Va da sé che non ho capito una mazza, ma non ci provo neanche e poco me ne cale. Mi incuriosiva solo il tempo impiegato.
    Ciao ciao
    Clelia

  4. .mau.

    @Clelia: ci avrò messo un’ora sparpagliata in una giornata, è un argomento molto ristretto.
    Ciò detto, quando leggo “ma non ci provo neanche e poco me ne cale” mi incazzo.
    Scrivere di matematica light mi costa fatica, visto che non sono copie banali di libri di testo ma sono studiate per fare in modo che siano comprensibili anche alle persone di buona volontà. Già non è bello vedere che nessuno mi fa notare passaggi poco chiari, visto che non credo di essere così bravo come divulgatore: però è giusto che una persona alla quale non gliene possa fregare meno della matematica salti questa roba a piè pari, ognuno ha il diritto di fare quello che vuole. Però dire “non me ne frega nulla, ma voglio sapere quanto ci hai messo a scriverla” è una presa per il culo.

  5. Clelia

    Bè, ma non te la puoi prendere con me se ogni tanto nel tuo blog trovo delle cose che mi divertono e mi interessano e altre volte cose che non mi interessano e non mi divertono. Questa – come tutte quelle di matematica – è arabo per me (ma non perchè tu non sia un buon divugatore, ma semplicemente perchè io con la matematica faccio come la mia amica Giovanna che dice “non so caricare la lavastoviglie” e punto lì)Quindi nella fattispecie – siccome a me sembra sempre che sia tutto equivalente alla scoperta della relatività – volevo solo sapere quanto ci impiega uno invece che “con i numeri c’ha su la mano” a scrivere una roba lunga così.
    Detto ciò, se ti può fare piacere, l’ho anche letta due volte ma non c’è verso…in realtà mi incuriosiscono sempre queste cose ma poi le leggo e mi avvilisco perchè è più forte di me: mi va insieme il cervello.
    Nessuna presa per il culo, giuro!
    Pace?
    Ciao
    Clelia

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