Si fa presto a dire media – parte 2

Non penserete mica di esservela cavata, con le medie? Ne sono state definite di tutti i tipi, sempre per la solita ragione che in alcuni casi conviene usare una definizione diversa da quella abituale. Eccovi allora qualche altro tipo di media più esoterica: non garantisco che vi serviranno nella vita di tutti i giorni, ma magari vi permetterà di fare bella figura in società!
La media geometrica è l’evoluzione della media aritmetica, nel senso che invece che avere somma e divisione si usano il prodotto e l’estrazione di radice. Limitandoci a due termini a e b, la loro media geometrica è data da sqrt(ab); inutile dire che se i termini fossero stati N, avremmo
usato la radice N-sima. Il nome di questa media credo derivi dal fatto che se abbiamo un rettangolo di lati a e b, il quadrato della stessa area ha appunto come lato sqrt(ab); quindi ti permette di dire qual è il “segmento medio” quando pensiamo all’area di una figura. Se vogliamo vedere la cosa in un altro modo e nascondere le radici quadrate, possiamo dirla così: se a è la media aritmetica tra m e n, allora n-a = a-m. Se g è la media geometrica tra m e n, allora n/g = g/m.
La media armonica è più complicata da spiegare, visto che è “l’inverso della media aritmetica degli inversi”. Nel caso di due elementi, la formula si semplifica un po’, visto che da 1/((1/2)((1/a)+(1/b))) si può arrivare a scrivere 2ab/(a+b); la fregatura è che nessuno si ricorda mai la formula “semplice”, e quindi si deve tutte le volte manipolare quella “complicata”, ma sicuramente più logica. Mi sarebbe piaciuto poter dire che la media armonica serve per trovare la “nota di mezzo” tra due, ma un po’ di conti fanno subito vedere che non è sempre vero. La media armonica tra un do e quello successivo sulla scala, ad esempio, è un fa e non un fa diesis; la media armonica tra un do e il sol superiore è però effettivamente un mi bemolle, il che ci rende un po’ più felici. Ma niente paura: esiste davvero un tipo di misura per cui la media armonica è quella naturale. Supponiamo che abbia guidato per 10 chilometri alla velocità media di 30 Km/h e per altri 10 chilometri alla velocità media di 60 Km/h: quale sarà la velocità media complessiva? 45 all’ora? No. La media aritmetica sarebbe stata la risposta giusta se avessi guidato per dieci minuti alle due velocità: allora avrei percorso complessivamente 15 chilometri in venti minuti, e i conti sarebbero tornati. Invece ho impiegato venti minuti per fare il primo tratto e dieci per fare il secondo tratto; in tutto sono stato in auto per mezz’ora e ho percorso 20 km, con una media complessiva di 40 Km/h, che guarda caso è la media armonica di 30 e 60. Questa differenza è tra l’altro alla base di un problemino matematico semplice ma fuorviante. Immaginiamo che io voglia percorrere i 200 Km tra Milano e Bologna alla velocità media di 80 Km/h, ma visto il traffico sull’Autosole sia costretto a fare i primi 100 chilometri ai quaranta all’ora. Se d’improvviso dopo Parma sono spariti tutti, a che velocità devo andare per il resto del percorso per raggiungere la media che volevo fare all’inizio?
vari tipi di mediaAnche gli ingegneri, poi, non volevano essere da meno e si sono inventati ancora un altro tipo di media, che chiamano media quadratica oppure valore efficace. Questo tipo di media è utile ad esempio nel caso si voglia calcolare la media di tensione della corrente alternata. La fregatura della corrente alternata è che a volte la tensione è positiva e a volte negativa: se si fa la media aritmetica viene fuori zero, e chiunque si sia preso una scossa capisce che c’è qualcosa che non va. Un approccio naïf potrebbe essere quello di prendere il valore assoluto di tensione e fare la media di quello; ma gli ingegneri – nonostante affermino il contrario – non amano le semplificazioni e hanno così pensato a un approccio più complicato. Per calcolare la media quadratica si prendono i vari valori, li si eleva al quadrato (capito il motivo del nome?), si fa la media dei nuovi valori ottenuti e si estrae la radice quadrata del tutto. In effetti, a dirla così, la cosa sembra davvero un’inutile complicazione: ma gli ingegneri hanno un asso nella manica e dicono che questo tipo di media tiene anche in conto quanto i dati sono dispersi… ma di questo ne parlerò un’altra volta, anche perché dire il vero non è che la cosa mi convinca troppo.
Quello che invece è interessante notare è che non solo se si prendono due numeri positivi tutte queste medie sono diverse tra loro – a meno che i due numeri siano uguali tra loro, ma allora a che ti serve farne la media? – ma sono sempre in un ben preciso ordine di grandezza relativa. Nella figura qui riportata, potete vedere cosa succede: dati due numeri (quelli in grigio in alto: rispettivamente 6 e 24) la media minore è quella armonica H, che nel nostro caso vale 9.6; segue la media geometrica G, che vale 12; poi c’è quella aritmetica A, che è 15; infine si ha la media quadratica E, che vale sqrt(306) e cioè quasi 17.5. Anche se in questo esempio le varie medie sembrano essere tutte ugualmente distanziate tra di loro, questo è un caso; quello che come dicevo non è casuale è l’ordine relativo tra le medie, che è sempre lo stesso. Addirittura per quanto riguarda la media aritmetica e geometrica, che sono le due più usate, la cosa assume il nome pomposo di disuguaglianza aritmetico-geometrica.
Ci sono ancora due tipi di media che si possono trovare leggendo i giornali; anch’esse hanno in fin dei conti diritto di esistenza, e quindi mi pare giusto parlarne un po’. La media pesata si usa… quando si vogliono confrontare mele con pere. No, non è così, ma l’idea è abbastanza simile. Supponiamo di volere calcolare il reddito medio degli italiani, partendo dal reddito medio degli abitanti delle varie regioni. La prima idea potrebbe essere quella di fare la media dei vari redditi. Però la Provincia Autonoma di Bolzano, con meno di mezzo milione di abitanti, ha un reddito quasi triplo della Sicilia, che di abitanti ne ha dieci volte tanto; fare una semplice media funziona peggio dell’esempio di Trilussa del mezzo pollo. Se non ci credete, provate a pensare a due gruppi, uno con dieci persone che non hanno un euro e uno con una singola persona che possiede ben dieci euro; la media non è certo di cinque euro a testa!statistiche su base giornaliera
Il trucco per ottenere un dato sensato è moltiplicare il reddito medio delle singole regioni per il numero di abitanti della regione stessa, fare la media (aritmetica) dei risultati, e dividere il totale per il numero complessivo degli abitanti italiani. Abbiamo pertanto dato un “peso” ai singoli valori, peso calcolato sul numero di abitanti. Scritto così sembra chissà che cosa, ma concettualmente non è che sia poi così complicato: se il reddito medio degli altoatesini è di 40000 euro, e il numero di cittadini è mezzo milione, questo significa che è come se ciascuno di loro avesse quel reddito. Facendo quindi la moltiplicazione otteniamo il reddito totale della Provincia Autonoma, che si può sommare a quello delle altre regioni perché “sono tutte mele” (non c’è la parola “media”). Ma visto che la media dobbiamo alla fine farla, ecco che dopo occorre fare una divisione. Detto in un altro modo, la media pesata è una banale media, dove non si prende un singolo rappresentante per ogni elemento del nostro insieme, ma li si prende tutti, ovviamente dando loro lo stesso valore perché è l’unico che conosciamo. Il bello della media è che è vero che la distribuzione dei redditi tra le singole persone è molto disuguale, ma per fare i conti possiamo fare finta che siano tutti uguali: basta ricordarsi di prenderli però tutti, e non limitarsi a un solo rappresentante.
statistiche su base settimanale La media mobile si può trovare spesso nelle pagine di economia. Prendiamo il valore di un’azione quotata in borsa. Soprattutto se l’azione non è una delle più trattate, da un giorno all’altro ci sono spesso delle variazioni consistenti, che però alla lunga più o meno si annullano. Oppure consideriamo il numero di copie vendute da un giornale – o il numero di lettori del mio blog. Un quotidiano sportivo vende molte più copie il lunedì, mentre per un quotidiano economico il lunedì è una giornata morta; i miei pochi lettori durante il weekend hanno generalmente qualcosa di meglio da fare che vedere se ho scritto qualcosa… o più probabilmente durante la settimana sono così scazzati che pur di fare qualcosa si mettono a leggermi. In ogni caso, il valore di un singolo giorno ha un’importanza relativa, se voglio sapere la tendenza sul lungo periodo. Bene, il sistema più semplice per ridurre l’influsso di valori spuri è quello di calcolare la media su un numero prefissato di valori: sette giorni nel caso del giornale, magari un intero mese per il titolo azionario. Nel primo caso, la variabilità delle quotazioni è semplicemente nascosta dal grande numero di dati usati; nel secondo caso il ragionamento logico che si fa ha una sua correttezza formale, perché confronti dati coerenti, anche se si spostano (ecco il perché la media si chiama “mobile”!) nel tempo. Le due tabelle disegnate qui sopra mostrano il numero di accessi al mio blog nelle ultime sei settimane; converrete che è molto più semplice vedere qual è la tendenza guardando la media mobile settimanale a sinistra, piuttosto che con il grafico giornaliero a destra. Abbiamo ancora una volta di fronte a noi il potere della media: eliminare dettagli inutili per la nostra analisi, e permetterci di concentrarci su quello che ci interessa realmente.
Per calcolare la media mobile su una finestra di N valori, occorre salvarsi tutti gli ultimi N+1 valori. Il procedimento banale consiste nel sommare gli N numeri e poi dividere per N, ma nel caso N sia grande il calcolo potrebbe dimostrarsi tedioso. Un sistema molto più semplice è prendere il valore della media attuale, e sommargli un N-simo della differenza tra il valore attuale e quello a distanza N. Chi ha voglia di fare i conti può vedere come il conto equivale a buttare via il valore più vecchio e mettere al suo posto quello appena trovato, che poi è l’operazione che si vede capitare se ritagliamo una finestrella da un pezzo di carta, la posizioniamo sul foglio con i nostri dati e la spostiamo di una posizione a destra. Come sempre, nulla di complicato, almeno fino a che non te lo nascondono dietro una serie di paroloni!
Per il momento questo è tutto. Non mi sono dimenticato che ho promesso anche di parlare della varianza e di tutte le belle cose correlate, però preferisco non mettere troppa carne al fuoco. Commenti e segnalazioni di errori, imprecisioni e incomprensibilità sono come sempre i benvenuti.

Ultimo aggiornamento: 2007-10-08 14:29

19 pensieri su “Si fa presto a dire media – parte 2

  1. Sonny&Me

    Per adesso beccati un BRAVO. Ma voglio rileggermi il post con più calma? A proposito di sintassi, com’ è che la radice quadrata del prodotto di a e b non la leggo come sqrt(ab)?

  2. .mau.

    Avevo sbagliato a scrivere l’entità della radice quadrata, invece che √ avevo scritto l’inesistente &sqrt;. Se continua a non vedersi adesso, significa che c’è un problema di font, e sarà meglio che io scriva sqrt(), che sarà brutto ma almeno è comprensibile.

  3. ALG

    Anche io lo voglio rileggere bene ma mi sembra chiaro e corretto…
    Solo una cosa, essendo stato io a chiedere la media quadratica, mi spieghi come cavolo hai fatto a capire che sono un Ingegnere?
    LOL
    Ciao

  4. paolo beneforti

    ripensandoci (brutto vizio), mi è venuto in mente che, considerando 4 tipi di medie (o anche di più) e calcolandole su n valori interi positivi, sui 4 risultati ottenuti si può ancora calcolare le 4 medie; e così via (salvo sforamenti di dominio). ovvero si può scrivere una funzione f(x), con x=(a,b,c,d) tale che f(x)=(MA(x),MG(x),MQ(x),MArm(x)). sarei curioso di sapere come è fatta f, nello spazio R4 lineare, rispetto al superquadrato definito da x0.
    se invece si costruisce una successione a definita da N su R4 tale che a(0)=(a,b,c,d) e an=(MA[a(n-1)],MG[a(n-1),MQ[a(n-1)],MArm[a(n-1)]), sarei curioso di sapere dove va la successione quando n –>infinito.
    tutto ciò son lacchezzi e sicuramente ho scritto degli sfondoni però due conti me li faccio. :D

  5. pietro

    Mi piace la domanda sulla velocità da tenere per andare a Bologna.
    Penso serva l’astronave di Lost in Space

  6. .mau.

    a tutti: avete letto così bene che non vi siete accorti che l’ultima figura non aveva senso, perché era una media settimanale e non una media mobile! Adesso, grazie a sant’Excel, ho rimesso tutto in sesto.
    @Alg: perché la media efficace è roba da ingegneri! (per una volta, senza nessun intento derogatorio, solo una constatazione su chi la può usare)
    @pb: Sono ragionevolmente certo che ci sia una qualche formula che trova la “media media” partendo da quella aritmetica e da quella geometrica, che sono le più comuni, e facendo la tua stessa iterazione. Non credo che si sia mai fatto il conto con quattro medie di fila, però.

  7. hronir

    Anche di un numero complesso basta prendere il modulo, per avere un numero reale. Pero’ in meccanica quantistica si usa il modulo-quadro. E il fatto che una corrente alternata (o un’onda elettromagnetica, un fotone…) puo’ essere rappresentata con fasori (complessi)… e’ solo una coincidenza?
    In generale esiste la p-norma, che sarebbe la somma delle potenze p-esime. E sembra che p=2 sia un caso speciale.
    Sono curioso di leggere quando parlerai di come la media quadratica tiene conto delle dispersioni, nel frattempo posso suggerirvi questa lezione di Scott Aaronson che a me e’ piaciuta molto (anche se non sono molto d’accordo sull’idea delle probabilita’ negative…)

  8. ALG

    Azz… Ho detto che avevo letto velocemente… In effetti mi pareva un po’ corto quel grafico per essere una media mobile ma non è che dopo pranzo, con un migliaio di righe di C da debuggare uno stia molto a sottilizzare.
    Cmq non è vero che è roba da ingegneri… Cioè, sì un pochino forse… Ma la ho usata molto strumentalmente… mi serviva per dimostrare che avevo ragione, fosse bastata la media aritmetica mica avrei usato la quadratica.

  9. Bistecca

    Ma in elettrotecnica si calcola anche il valore efficace di una tensione alternata sola (come a dire la media su un valore solo? Naaaaa… :-)
    Veff = V * ?2

  10. .mau.

    Ma la singola tensione alternata non è un valore solo! La tensione alternata è un’onda… solo che il voltmetro segna semplicemente il picco.

  11. ALG

    Per inciso quella formula per il valore efficace è valida solo e soltanto se la tensione è una sinusoidale pura, se fosse una sinusoidale simulata (come quelle dei gruppi di continuità per intenderci) la formula non è più valida. E discende dal fatto che la media quadratica di una funzione seno su tutto il dominio (essendo periodica basta su un solo periodo) vale 1/?2.
    Ciao

  12. parole valigia

    Matematica & parole

    Questo e quest’altro post di .mau. (non indispensabili alla comprensione di quanto sto scrivendo, ndpb :D) mi danno lo spunto per un discorsetto tera-tera sui termini usati in matematica. Nella fattispecie, nel primo di quei post si notava come, calcol

  13. Bistecca

    Ma è vero che qualunque forma d’onda periodica può essere scomposta in un numero n di sinusoidi pure?
    Quindi il valore efficace di una qualsiasi onda periodica è sempre il picco moltiplicato radice di due…
    Per esempio, se prendi una retta, per definizione è infinita, quindi puoi scegliere arbitrariamente un punto e chiamarlo “zero”, ma puoi scegliere lo stesso punto e chiamarlo “infinito”, perciò “infinito” = “zero”… :-)

  14. vb

    E’ troppo tardi perché mi metta a leggere il post proprio ora, ma ho una cosa da dire: secondo te, perché ho letto “Si fa presto a dire media” con media pronunciato e inteso all’inglese?

  15. ALG

    @Bistecca:
    Se vogliamo essere rigorosi non solo non tutte quelle sinusoidi non hanno lo stesso valore ma potrebbero essere anche in numero infinito.
    (Se non lo hai capito qui sei in casa di un matematico letto da matematici ed ingegneri, non so cosa ne pensi il padrone di casa ma si tratta di individui mediamente pignoli…)
    Giusto per non smentirmi preciso: E’ vero che se il segnale è periodico ed infinito il suo dominio nelle frequenze è finito (quindi le onde sinusoidali sono di frequenza finita) ma non è detto che questo spettro sia discreto, anzi in alcuni casi è continuo quindi le onde sinusoidali sono comunque infinite. Infatti, per esempio, il valore efficace di un’onda quadra è Vrms=Vmax*?DutyCycle. Tra l’altro, giusto per completare la pignoleria, anche noi ingegneri per le onde quadre di solito parliamo di valore medio e non di valore efficace (o meglio, in quel caso il valore efficace è anche il valor medio giusto per dire che la tua definizione, e quella di wiki, di valore efficace non è formalmente corretta…)

  16. Sky

    @ALG (sui pignoli): pensa che c’è gente capace di dare del pignolo a me!!! (che non sono nè matematico nè ingegnere :-D)
    Il prossimo che ci prova lo fiondo direttamente qui. ;-)
    P.S.
    Volevo fare, a .mau., una battuta sui matematici… ma sapendo che ci sono ingegneri in giro mi son trattenuto. ;-)))
    (Oops… alla fine mi rendo conto che l’ho fatta! :-D) O:-)

  17. Bistecca

    >Se non lo hai capito qui sei in casa di un matematico letto da matematici ed ingegneri
    Lo so, e mi diverto molto a giocare con voi… :-)
    Sapevo che la formuletta del valore efficace valeva solo per le sinusoidi, ma lo scopo era fare la battuta sul gioco di parole del fare la media su un solo valore
    Come ho detto: mi piace giocare con i pignoli… :-)
    Nota: la pagina Wiki non l’ho letta, io ho un diploma in energia nucleare e quando lo facevo io, lo scopo dello studio era di ricordarsele, le cose… :-)

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