817 – algebretta
Ho messo le palline con i numeri da 0 a 100 in una ruota del lotto. Estraggo poi ogni volta due palline e ne inserisco una numerata come la differenza (in valore assoluto) tra i valori delle due palline. Ovviamente è possibile che la ruota conterrà palline con lo stesso numero, ma non è un problema. La domanda è: è possibile che dopo avere tolto 100 palline ne rimanga solo una con il numero 1? E se le palline fossero solo quelle da 1 a 90?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p817.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema adattato dalla Grange Newsletter #767 di Chris Smith; immagine creata da NanoBanana.)
Poiché (notoriamente, ma si calcola) la somma degli interi da 0 a 100 è 101×50=5050, la risposta alla prima domanda è negativa.
La somma degli interi da 1 a 90 è 91×45=4095. Un modo intuitivo per arrivare ad avere una sola pallina con 1 potrebbe essere:
2-1=1 (tolgo le palline 1 e 2 e reinserisco la pallina 1)
4-3=1
…
90-89=1
e restano 45 palline col numero 1. 22 coppie si eliminano semplicemente facendo:
1-1=0
1-0=1 (essendo dispari, c’è sempre un ulteriore 1 da cui sottrarre)
e alla fine rimane una sola pallina con 1.
Non mi convince, poi magari dopo cambio idea.
Ipotizziamo di avere a disposizione palline truccate, delle quali il peso corrisponde ad un valore fisso MENO il numero impresso sulla pallina stessa.
Ad esempio, se la pallina con lo 0 (zero) pesa 30 grammi, quella con l’1 (uno) pesa 29,8 grammi, quella col 2 (due) pesa 29,6 grammi e così via fino a quelle col 99 (novantanove) e quella col 100 (cento) che pesano rispettivamente 10,2 e 10 grammi (ragionando in carati metrici, ct, il peso risulterebbe 150-N dove N corrisponde proprio al numero identificativo).
Un po’ come la distinzione tra monete vere e false, solo che qui sono sfere e si stratificano nel sacchetto, le più leggere sempre in alto e le più pesanti in basso.
Pescando dal sacchetto, quindi, sarà molto probabile estrarre subito il 100 e il 99 (le palline più leggere) e quindi verrà inserita la pallina 1, che sprofonderà fino in fondo (o quasi, non è rilevante), mentre con le successive estrazioni verranno via via eliminate altre palline, sempre le più leggere, e ne verranno inserite altre, sempre pesanti, praticamente tutte con numeri molto bassi, in genere proprio 1.
Direi che statisticamente, dopo aver cominciato ad eliminare quasi un sacco (letteralmente) di palline 1, ne potrebbero rimanere ancora alcune col numero 1 e una certa quantità col numero/cifra 0.
Con questa ipotesi, dopo 49 coppie estratte avremo 49 nuove palline 1 inserite e quelle con i numeri 2, 1 e 0, mai sfiorate (52 in tutto).
Dopo altre 26 estrazioni potremmo avere 24 palline 0 e 2 palline 1 (il 2 viene sacrificato subito con una delle numerose palline 1 presenti),.
Qui teoricamente le due palline 1 dovrebbero eliminarsi facendoci restare con 13 palline 0, fine del gioco, ma se così non fosse (probabilità non nulla) si potrebbe resteranno 11 palline 0 e 2 palline 1 (la pallina 1 vince sempre, su quelle 0)…
Adesso ok, ho capito: quelle con la cifra 1 o si annullano tra loro oppure restano in numero pari, e alla fine non ne potrà restare soltanto una (quasi citazione).
Naturalmente non elimino il post, lo lascio anche perché i numeri con peso inverso l’avevo già citato da qualche parte anni fa (da queste parti, credo) se ce lo lascio magari riesco a ricordare il contesto.
Ad ogni modo, ne approfitto per celebrare il 9/16 che è l’attuale standard video :-)