815 – geometria
Nella figura qui sotto vedete un quadrato (di area 100) inscritto in un altro quadrato. Uno dei triangoli ha al suo interno inscritto un cerchio. Qual è la sua area?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p815.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Mind Your Decisions.)
Dalla figura si vede che l’ipotenusa è 10, e il doppio del prodotto dei cateti 24.
Quindi a^2+b^2+2ab=100+24 -> a+b = √124. il semiperimetro del triangolo è dunque (10+√124)/2 e l’area 24. A/p mi dà il raggio del cerchio inscritto.
“si vede che l’ipotenusa è 10, e il doppio del prodotto dei cateti 24”
La METÀ del prodotto dei cateti (a * b ) / 2 = 24 (come in ogni triangolo rettangolo che si rispetti).
Tenendo conto che il quadrato composto dal quadrato interno più i 4 triangoli rettangoli esterni ha un’area complessiva di ( 100 + 4 * 24 ) = 196 si vede agevolmente che ( a + b ) = √ 196 = 14 .
Se si chiama c il lato maggiore del triangolo, quindi l’ipotenusa, si ha che il perimetro vale ( a + b + c ) = 24 .
Concordo sul fatto che area diviso semiperimetro fornisce il valore del raggio del cerchio inscritto (quello giallo col punto interrogativo, nell’immagine).
Sono andato a complicarmi la vita e ho pure diviso invece di moltiplicare… Vabbè, almeno l’idea c’era
Per completezza, aggiungo che per i triangoli rettangoli, oltre alla consueta formula r=S/p (raggio del cerchio inscritto=area diviso semiperimetro), vale anche r=(a+b-c)/2, dove a e b sono i cateti e c è l’ipotenusa. Non so in quali casi questa formula sia migliore dell’altra, ma comunque esiste :-)