Un numero intero n si dice paladino se il numero dei suoi divisori positivi è uguale al numero delle sue cifre. Evidentemente l’unico numero paladino di una cifra è 1, e i numeri paladini di due cifre sono quelli primi (che hanno come divisori 1 e il numero stesso). Quanti sono i numeri paladini di tre cifre? E qual è il più piccolo numero paladino di quattro cifre?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p653.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema dalla Olimpíada Paulista de Matemática, 2011, prima fase.)
Per la seconda parte della risposta, direi 1003 e 1006. Per la prima parte non ne ho idea per ora.
Domanda: “numeri paladini” esiste davvero? E perché proprio “paladini”?
Ho semplicemente traslitterato “paladin numbers”. No, il termine non esiste in letteratura matematica.
Mi verrebbe da dire che, visto che un divisore è 1 e un altro è il numero stesso, il terzo debba essere un numero primo.
Quindi direi tutti i numeri di tre cifre che siano quadrati, cubi etc. di numeri primi
Rettifico: solo i quadrati.
La prima parte è la più facile. Piccolo lemma sempre utile: un intero positivo ha un numero dispari di divisori se e solo se è un quadrato.
Per la seconda parte riesco a isolare i tipi di fattorizzazione possibili (ce ne sono due), ma ciò non mi aiuta più di tanto e alla fine devo fare a forza bruta.
Ho letto la soluzione proposta da .mau. e temo ci sia qualche piccola imprecisione.
All’inizio per la formula del numero dei divisori usa prima k e poi n come indice massimo degli esponenti (vabbè, errore di battitura).
I numeri paladini di tre cifre sono 7 e non 6, perché manca 19²=361.
Per i numeri paladini di quattro cifre, dov’è scritto “che sia un cubo” manca “di un primo”; infatti, 1000=2³×5³ ha 16 divisori e non 4. Come scritto più sopra, i primi due numeri paladini di quattro cifre sono 1003=17×59 (non 159) e 1006=2×503.
per fortuna ho un correttore di tutti i miei errori! Grazie! (fino alla prossima settimana non riesco ad aggiornare il sito, però)