Il Minuscolistan ha un esercito adeguato alle sue dimensioni: le nuove reclute sono meno di 50. Peggio ancora, il loro addestramento non è dei migliori: quando il sergente li ha messi tutti in fila e ha gridato “Fianco sinistr!” alcuni soldati si sono girati a sinistra, altri a destra e altri ancora hanno fatto dietrofront.
Secondo voi, è sempre possibile per il sergente posizionarsi da qualche parte in mezzo alla fila in modo tale che il numero di reclute che lo guardano da ciascun lato sia lo stesso?
((un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p170.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema tratto dalla Moskow Mathematical Olympiad 2002, vedi anche Futility Closet)
Ultimo aggiornamento: 2015-05-12 15:54
Sì.
Ignoriamo completamente i soldati che fanno dietrofront. Abbiamo quindi una linea di persone che guardano o a destra o a sinistra.
Chiamo S il numero di soldati che guardano il sergente dalla sua sinistra, D il numero di quelli che lo guardano da destra. Inoltre sia X = S – D.
Sia data una fila qualsiasi. Quando il sergente è all’estrema sinistra della fila, S = 0 e quindi X assume il valore minimo possibile, che è = 0.
Facciamo muovere il sergente dall’estrema sinistra scavalcando un soldato alla volta. A ogni movimento:
– S cresce di 1 e D rimane costante, se il soldato scavalcato ha lo sguardo rivolto a destra
– S rimane costante e D diminuisce di 1, se il soldato stava guardando a sinistra.
In entrambi i casi X diminuisce di un’unità.
E’ evidente quindi che X assume il valore zero in almeno un punto della fila.