Qui a fianco vedete lo sviluppo di tre dadi non standard, nel senso che non hanno tutti i numeri da 1 a 6. Cosa c’è di interessante in questi dadi? Semplice. Immaginate di dire a un vostro (ancora per poco…) amico “scegli un dado qualunque, e io poi ne scelgo un altro. Poi lanciamo il nostro dado per 10 volte, e chi ha ottenuto il punteggio più basso per il maggior numero di volte pagherà la cena per entrambi”. Vediamo che succede.

Se l’amico ha scelto A, noi scegliamo C. In due casi su sei (se io faccio 6) vinco sicuramente; negli altri quattro casi vinco una volta su 3 (se lui fa 1). Probabilità di mia vittoria: 2/6 + (1/3)(4/6) = 5/9.

Se l’amico ha scelto B, noi scegliamo A. In quattro casi su 6 (se io faccio 5) vinco cinque volte su sei (lui non deve fare 6); negli altri due casi perdo. Probabilità di mia vittoria: (4/6)(5/6) = 5/9.

Se l’amico ha scelto C, noi scegliamo B. In un caso su sei (se io faccio 6) vinco quattro volte su sei e pareggio le altre due; in tre casi su sei (se io faccio 4) vinco quattro volte su sei e pareggio le altre due; nei restanti due casi vinco due volte su 6, pareggio due volte e perdo due volte. Probabilità di mia vittoria: (1/6)(4/6) + (3/6)(4/6) + (2/6)(2/6) = 5/9. (E a volte pareggio comunque!)

Dadi di questo tipo si chiamano non transitivi, perché non è possibile creare un ordine transitivo di valore tra i dadi.

È interessante notare che se invece che avere dadi a sei facce (tanto, ormai…) li prendiamo con F_m facce, dove F_m è un numero di Fibonacci, e chiamiamo $Pr(A\gt B)$ la probabilità che il dado A vinca sul dado B, possiamo trovare una configurazione di punti per cui
$Pr(A\gt B) = Pr(B\gt C) = F_{m-1}/F_m$
e
$Pr(C\gt A) = F_{m-1}/F_m \pm 1/F_m^2.$
Il “più o meno” nell’ultima espressione dovrebbe subito farvi venire in mente il rapporto aureo φ, e infatti si può anche dimostrare che la minima di queste tre probabilità deve essere minore di 1/φ, che è il risultato asintotico migliore.

Il risultato è indubbiamente carino, perché poco intuitivo: ma si può persino fare di meglio, come vedremo la prossima settimana!

Aggiornamento: 22:00) Carlo Mannucci ha stampato in 3D i dadi. Chi è interessato può trovare lo schema qui.

Ultimo aggiornamento: 2024-08-21 22:03