Base Fibonacci, insieme di Shevelev e congettura di Kimberling

Se seguivate il mio vecchio blog sul Post (quando il Post aveva i blog…) sapete sicuramente della base di numerazione φ. Come in base 10 un numero come 42,5 equivale a 4×10¹ + 2×10⁰ + 5×10⁻¹, in base φ un numero come 1000.1001 equivale a φ³ + φ⁻¹ + φ ⁻⁴, che in base 10 equivale a 5. Ci sono molte rappresentazioni possibili per un numero in base φ; per convenzione si sceglie come forma canonica quella che non ha due cifre 1 consecutive (lo si può sempre fare, ricordando che $ \varphi^n + \varphi^{n+1} = \varphi^{n+2)}$).

Riguardo alla base φ, Richard Green segnala una curiosità, raccontata nel paper di Jeffrey Shallit e Ingrid Vukusic New properties of the φ-representation of integers. Consideriamo l’insieme degli interi che in base φ sono “antipalindromi”, dove cioè se c’è la cifra 1 in posizione $k$ c’è anche la cifra 1 in posizione $-k$. Per esempio, 1 è antipalindromo, perché $1_{10} = 1_{\varphi}$, e l’unica cifra 1 è in posizione 0 che è l’opposto di sé stessa; 2 non lo è, perché $2_{10} = 10,01_{\varphi}$ e anche se il numero pare simmetrico non lo è (le posizioni con 1 sono 1 e −2); 3 lo è perché $3_{10} = 100,01_{\varphi}$ e le posizioni con 1 sono la 2 e la −2. L’insieme dei numeri naturali che sono antipalindromi in base φ comincia con 1, 3, 4, 7, 8, 10, 11, 18, 19, 21, 22, 25, 26, 28, 29, 47, … e naturalmente si trova su OEIS, prendendo il nome di Vladimir Shevelev che l’ha studiato per primo nel 2010. Bene: due anni dopo Clark Kimberling si è accorto che i numeri nell’insieme di Shevelev avevano la proprietà che raddoppiando tutti gli esponenti nella sua notazione in base φ si otteneva un altro numero naturale, cosa che a prima vista non era ovvia: per esempio, 10 è $10100,0101+{\phi}$ e $10010000,00010001+{\phi}$ = 54. Allo stesso tempo, se un numero non è nell’insieme di Shevelev raddoppiando tutti gli esponenti non si ottiene un intero: per esempio 9 è $10010,0101_{\phi}$ mentre $10000100,00010001_{\phi} = (52 – \sqrt{5})_{10}$.

Bene: Shallit e Vukusic sono riusciti a dimostrare la congettura di Kinberling. La dimostrazione tra l’altro non è nemmeno troppo difficile. Hanno infatti sfruttato i numeri di Lucas (una variante dei numeri di Fibonacci, dove non si parte da {1,1} ma da {3,1} per la definizione ricorsiva) per dimostrare che i numeri antipalindromi sono tutti e soli quelli che hanno solo esponenti pari nella rappresentazione in base φ. Non so voi, ma tutto questo mi pare incredibile…