Nella figura qui sotto vedete un quadrato ABCD e un cerchio che passa per i punti B, C e per il punto medio E del lato AD. Qual è la figura col perimetro maggiore? Il quadrato o il cerchio?
![[un cerchio e un quadrato]](https://i0.wp.com/xmau.com/notiziole/wp-content/uploads/sites/6/2015/03/q166a.png?resize=504%2C374)
(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p166.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema tratto da Math StackExchange
Ultimo aggiornamento:: 2015-03-21
Mi viene il quadrato, di poco, ma non l’ho risolto in modo particolarmente geniale.
Sono d’accordo. Anche la mia soluzione è piuttosto scolastica.
che intendete per scolastica? Naturalmente si può risolvere con la geometria analitica, ma non è quello il modo migliore.
(4+2*sqrt(2)) > 2*pi
Applicando il Teorema di Pitagora per trovare la distanza dal centro della corda CB, ho impostato un’equazione, che mi ha permesso di ricavare facilmente la relazione tra lato del triangolo e raggio del cerchio. Ho ottenuto l=8/5*r, e quindi il perimetro, che è 32/5*r, è maggiore della circonferenza, perché 8/5=6,4>2pi.
Quindi soluzione scolastica “sintetica”, da biennio di liceo.
secondo me il cerchio perche’ PI > 3 (assumendo che ECB sia equilatero, cosa che non so dimostrare)
ECB non è equilatero. Come fa ad esserlo, visto che EC > DC = CB?
volevo dire 32/5>2*pi, non 8/5>2*pi, ovviamente
Meraviglioso.
Io l’ho risolto tirando il segmento da E al punto medio di BC (chiamiamolo P), passante per il centro del cerchio, O.
EPC e OPC sono simili (rettangoli in P, PC in comune), con rapporto 2 tra i lati (EP è il doppio di PC). Quindi OC (il raggio) è la metà di EC. EC si può calcolare con pitagora (se il quadrato ha lato di lunghezza l, è sqrt(5)*l/2, quindi OC è sqrt(5)*l/4, quindi la circonferenza è sqrt(5)*l*pi/2 < 4*l (perimetro del quadrato).