777 - probabilità

Ippocastagne

Mario e Luigi si sono iscritti al Grande Torneo di ippocastagne di Cortemilia. Lo svolgimento del torneo è molto semplice. Ci sono 64 concorrenti che si affrontano a coppie, ciascuno con una "castagna matta" (quelle degli ippocastani); si fanno sbattere le castagne tra di loro e vince chi riesce a spaccare quella dell'avversario. Il torneo è a eliminazione diretta, ma a differenza per esempio del tennis il tabellone non è definito sin dall'inizio: dopo ogni fase eliminatoria i vincenti vengono accoppiati di nuovo a caso. D'altra parte le castagne sono anche scelte casualmente, e quindi per ogni scontro entrambi i giocatori hanno probabilità 1/2 di vincere. Qual è la probabilità che Mario e Luigi (a) si incontrino nel primo turno; (b) si incontrino in finale; (c) si incontrino in un momento qualunque del torneo?

   

   

Problema 65 da Stephen Siklos, Advanced Problems in Mathematics; immagine di rdevries, da OpenClipArt.