Ippocastagne

Calcoliamo i risultati generali per 2ⁿ giocatori.
(a) Al primo turno Mario ha 2ⁿ−1 avversari possibili, e uno solo di essi è Luigi: pertanto la probabilità di un incontro è 1/(2ⁿ−1), nel nostro caso 1/63.
(b) Essendo il torneo essenzialmente casuale, tutte le possibili partite hanno la stessa probabilità di essere la finale. Il numero di incontri possibili è 2ⁿ(2ⁿ−1)/2 (ogni concorrente può incontrare tutti gli altri, ma in questo modo contiamo due volte la partita tra a e b, da cui la divisione per 2), pertanto la probabilità di una finale Mario-Luigi è 1/(2ⁿ⁻¹(2ⁿ−1)). Nel nostro caso la probabilità è 1/(32·63) = 1/2016.
(c) Abbiamo appena calcolato il numero di possibili incontri in teoria. Ma in pratica si hanno 2ⁿ−1 incontri, visto che in ciascuno di essi si elimina in giocatore. Quindi la probabilità che ci sia un incontro esplicito è il rapporto tra questi due valori, cioè 1/2ⁿ⁻¹. Nel nostro caso, 1/32.

Un'ultima parola

Si sarebbe potuto perdere (tanto) tempo a fare i conti espliciti. Ma è molto più semplice considerare lo spazio di tutte le possibili gare, no?