Formula dell’emisenoverso

Se vogliamo trovare il terzo lato $\overline{AB}$ di un triangolo quando conosciamo gli altri due lati $\overline{AC}$ e $\overline{BC}$ e l’angolo $γ$ tra di loro possiamo usare il teorema del coseno:

$$ \overline{AB}^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2-2\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BC}\cos\gamma $$

Fin qua nulla di così strano, anche se questo teorema di solito non si studia a scuola. Ma se stiamo navigando, la formula non funziona perché non tiene conto della sfericità della terra: ci vuole un teorema dei coseni apposito. La cosa buffa è che in trigonometria sferica non ci sono triangoli simili, quindi le lunghezze dei “lati” di un triangolo sferico (parti di un cerchio massimo sulla superficie sferica) sono indicate dal coseno dell’angolo al centro. Il teorema del coseno sferico è pertanto

$$ \cos c = \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C\ $$

dove $C$ è l’angolo interno del triangolo.

Fin qua ancora nulla di strano. Il problema è che i triangoli in mare sono sì sferici ma relativamente piccoli rispetto al raggio terrestre; quindi $a$ e $b$ sono numeri piccoli, i loro coseni sono molto vicini a 1 e i loro seni molto vicini a 0. Moltiplicando $\sin a \sin b$ otteniamo un numero ancora più piccolo, che sommato a un “quasi 1” si perde. Questo significa tra l’altro che anche adesso che abbiamo le calcolatrici non possiamo usare quella formula perché sballerebbe comunque. Brutta storia. Ma già gli indiani, nel loro trattato di astronomia Surya Siddhanta, avevano trovato la soluzione: la funzione senoverso, definita come

$$\textrm{versin}\theta := 1 – \cos\theta = 2\sin^2\frac{\theta}{2}$$

L’emisenoverso (haversine in inglese) è ovviamente la metà del senoverso, cioè $\textrm{hav}\theta := (1 – \cos\theta)/2$. Il nostro teorema del coseno sferico diventa così

$$\textrm{hav}(c) = \textrm{hav}(a − b) + \sin(a) \sin(b) \textrm{hav}(C)$$

Visto il trucco? La differenza di due valori piccoli è quasi zero, quindi il coseno è quasi 1 e l’emisenoverso quasi zero. Sommiamo insomma due numeri molto piccoli e non abbiamo problemi di perdita di precisione. Sembra incredibile, ma le prime tavole numeriche che tabulavano l’emisenoverso apparvero solo nel 1805, nonostante la loro indubbia utilità; evidentemente già in passato la matematica teorica e quella pratica andavano per conto loro…

PS: Per un algoritmo che uso nel mio lavoro dobbiamo calcolare la distanza di un’abitazione dalla cella telefonica che la serve. I miei colleghi avevano fatto una ricerca in rete e scoperto la formula dell’emisenoverso: non sono riuscito a convincerli che date le distanze in gioco (massimo 35 km) e la (scarsa) precisione dei dati a nostra disposizione l’errore che avremmo avuto usando banalmente il teorema di Pitagora era trascurabile…