Le costruzioni geometriche si fanno con riga e compasso, questo lo sappiamo tutti. In tanti sappiamo che la definizione di “riga” e “compasso” è molto precisa, nel senso che la riga non è graduata e il compasso si richiude non appena lo alziamo; quindi non possiamo riportare una lunghezza da una parte all’altra della nostra costruzione. Se questo fosse possibile, potremmo per esempio trisecare un angolo (o detto in termini algebrici risolvere un’equazione di terzo grado, mentre con gli strumenti euclidei possiamo solo arrivare al secondo grado). Accettare quegli strumenti permette quindi di ottenere più costruzioni, ma cosa succede se invece proviamo a essere ancora più minimalisti?
L’esempio più noto è quello ideato da Lorenzo Mascheroni, che nel suo libro La geometria del compasso mostra che se una costruzione è possibile con riga e compasso allora lo è anche con il solo compasso, ammettendo che una retta sia nota quando se ne conoscano due punti diversi. Poncelet e Steiner dimostrarono poi che se una costruzione è possibile con riga e compasso la si può anche fare con la sola riga, assumendo che esista un singolo cerchio dato.
David Keith Butler ha invece seguito una strada diversa accettando di usare… un righello come quello mostrato qui sotto, anche se nel suo caso non è graduato (altrimenti sarebbe troppo facile!) Se vi steste chiedendo qual è la differenza tra una riga e un righello, a parte la lunghezza (ma il righello di Butler è estendibile a piacere, come del resto la retta euclidea) la risposta è davanti ai vostri occhi: un righello ha due lati, e quindi possiamo sfruttare questo fatto per fare costruzioni diverse da quelle euclidee.
Le costruzioni di Butler si possono trovare nel suo sito: qui mi limito a presentarvi le prime, per dare un’idea di come procede. Disegnare una retta qualunque, una che passi per un punto specifico o una che passi per due punti specifici è banale, nel senso che non ci serve il secondo lato del righello. Ma dati due punti possiamo costruire altre due rette! Se lo spessore del righello è 1 (la scala è irrilevante) e i due punti A e B sono a distanza maggiore di 1, possiamo infatti mettere il righello in mezzo, come mostrato nella figura qui sotto, e disegnare le due rette che vedete tratteggiate. Butler definisce allineati incrociati (“cross-aligned”) i due punti per mezzo delle rette r e s.
Se la distanza AB è d > 1, disegnando la perpendicolare a r da B otteniamo un triangolo rettangolo ACB e sappiamo che $ \sin(\theta) = \tfrac{1}{d} $. Il lemma dell’arcoseno allineato incrociato afferma appunto che se due punti a distanza d > 1 sono allineati incrociati, l’angolo acuto che i lati del righello formano con la riga che unisce i due punti è $ \arcsin(\tfrac{1}{d}) $; viceversa, se i lati del righello incontrano una riga con un angolo acuto $ \theta $ la distanza tra i punti della retta che incontrano i lati del righello è $ \tfrac{1}{\sin \theta} $. Questo lemma permette di raddoppiare la lunghezza di un segmento (maggiore di 1) e raddoppiare un angolo, riportano la stessa struttura.
Costruire un rombo è banale: basta inclinare in due modi diversi il righello e disegnare le due coppie di rette. Da un rombo, tracciando le diagonali, abbiamo anche un angolo retto, il che significa che possiamo costruire perpendicolari e parallele. Le parallele sono importantissime, perché ci permettono di usare il teorema di Talete e quindi dividere un segmento in un numero qualunque di parti, di distanza anche inferiore a 1. Vi eravate accorti, vero, che c’era sempre questo limite?
Per i cerchi ovviamente bisogna definire cosa si può avere: la soluzione di Butler, nello stile di Mascheroni, è affermare che un cerchio è dato quando conosciamo il suo centro e un punto sulla circonferenza, oppure tre punti sulla circonferenza. Quello che importa davvero è poter disegnare un qualunque punto sulla circonferenza che sia costruibile, cioè che sia il risultato di un’operazione geometrica come l’intersezione tra un cerchio e una retta; tutti gli altri punti, anche se li vediamo quando tracciamo una circonferenza con il compasso, in realtà per Euclide non esistono e quindi li possiamo tralasciare. Se siete interessati, questo suo post mostra le costruzioni necessarie.
A cosa serve tutto questo? Esattamente a quello a cui servono le costruzioni di Mascheroni e Poncelet/Steiner: capire meglio quali sono i veri limiti della costruibilità geometrica. Non vi cambierà la vita, anche se per esempio Mascheroni scrisse il suo testo anche per mostrare come si potevano fare costruzioni meccaniche di precisione avendo a disposizione compassi fissi di lunghezze prestabilite.
Ultimo aggiornamento:: 2026-07-19