L’ultimo quizzino della domenica presentava un problema con una specie di “sudoku a spirale”: una griglia 5×5 nella quale in ciascuna riga e colonna troviamo i numeri da 1 a 5, e sulla spirale abbiamo un 1, due 2, tre 3, quattro 4 e cinque 5. La soluzione è mostrata qui a destra: magari vi siete accorti che nella spirale, partendo dal centro e andando verso l’esterno, troviamo una successione che possiamo suddividere come 5-45-345-2435-14325. Se siete amanti dei pattern come me, avrete anche notato che la successione dei numeri non cerchiati è in un certo senso il suo complementare: abbiamo infatti 1-21-321-4231. In entrambi i casi abbiamo gruppi di dimensione crescente, e la somma delle cifre rispettive di ciascun gruppo è sempre 6. Richard Green ha parlato di questa struttura: il suo post è dietro paywall, ma potete leggere qualcosa in più sulla struttura in questo preprint di Vadim Ponomarenko che descrive appunto la sequenza Pulsar, quella che parte da 1.
La sequenza Pulsar è una delle ultime aggiunte a OEIS, il che significa che è qualcosa di davvero nuovo: cosa piuttosto incredibile, dopo decenni di ricerca di successioni di interi. I primi suoi termini sono
1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 2, 3, 1, 5, 2, 3, 4, 1, 6, 2, 4, 3, 5, 1, 7, 2, 5, 4, 3, 6, 1, 8, 2, 6, 4, 5, 3, 7, 1, 9, 2, 7, 4, 5, 6, 3, 8, 1, …
dove ho scritto alternativamente in corsivo e grassetto i numeri delle sottosequenze per riconoscerli meglio. Riuscite a vedere come queste sottosequenze S(n) sono generate? In pratica il primo termine di S(n) è sempre n e l’ultimo è 1; a partire da S(3) i numeri in mezzo sono quelli di S(n−2) a cui si somma 1 e che vengono scritti in ordine inverso. Quindi se S(5) è (5,2,3,4,1) noi scriviamo (6,3,4,5,2), lo rovesciamo in (2,5,4,3,6), gli mettiamo in cima 7 e in fondo 1 e otteniamo S(7). Ma possiamo anche continuare per induzione a costruire quadrati contenenti la sequenza pulsar! Per passare per esempio da 5 a 6 caselle, aggiungiamo una striscia verticale per la spirale e la striscia orizzontale che completa il quadrato: poi sommiamo 1 a tutti i numeri della spirale (nella figura sotto li vedete in rosso), completiamo la spirale con i numeri per formare un quadrato latino (sono in blu nella figura) e infine aggiungiamo S(5) in basso (in verde). Da qui potete facilmente verificare le varie proprietà accennate sopra: esiste un’unica successione, perché c’è solo un modo per riempire righe e colonne: il primo valore è sempre n (perché nell’antipulsar della spirale è 1) e l’ultimo 1 (perché nell’antipulsar è n), e così via.