Vi ricordate quando da bambini cercavate di completare la raccolta di figurine, e continuavate a trovare dei doppioni? Avete mai pensato che ci fosse sotto qualche complotto, come tra le due guerre per la figurina del Feroce Saladino nel concorso abbinato alla trasmissione radiofonica I quattro moschettieri? Non è detto in effetti che sia necessariamente così. Il punto è che, pur assumendo che le figurine siano distribuite in modo assolutamente casuale, è ovvio che in una collezione da 100 pezzi se ne abbiamo solo 10 è probabile che la prossima che troviamo ci manchi, ma se ne abbiamo già 90 troveremo il solito doppione (o triplone, o quadruplone…). Fin qui l’analisi qualitativa. Ma se volessimo avere un’idea quantitativa?
Io sono pigro, e quindi vi mando a leggere quanto scritto nel 2012 da Roberto Zanasi qui e qui. Se siete ancora più pigri di me, vi svelo la risposta: se le figurine sono N, il valore atteso del numero di figurine da comprare è dell’ordine di N ln(N), dove ln() è il logaritmo naturale. Quindi con un album di 100 figurine dobbiamo comprarne in media 460. Ma c’è un ma! Adam Kucharski racconta che in un articolo del 1960 di Donald Newman e Lawrence Shepp si dimostra che se si è in tanti amici tutti disposti a scambiarsi tra loro i doppioni il numero medio di figurine da comprare per ciascuno scende all’ordine di N ln(ln(N)), nel nostro caso circa 153. Un compito sicuramente più fattibile… se non si litiga prima!