802 – combinatorica
Nella figura qui sotto vedete sette cerchi, con quello numerato 7 al centro e gli altri sei intorno ad esso numerati da 1 a 6. Quanti numeri distinti di sette cifre tutte diverse potete formare partendo da un cerchio qualsiasi e spostandovi su un cerchio che tocca il precedente?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p802.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Proof Positive.)
Vediamo intanto che:
– sull’esterno si può andare in un solo verso (orario o antiorario) senza poter invertire o saltare;
– dal centro ci si può passare una volta sola, come da tutti gli altri cerchi, c’è solo da decidere quando, nella sequenza, inserire il 7.
Detto questo, se partiamo dal cerchio con l’1 e andiamo in senso orario possiamo toccare, nell’ordine, 1234567 (terminando al centro) oppure 1234576 (toccando il centro al penultimo passaggio) e così via fino a 1723456; in tutto sono 6 diversi numeri di 7 cifre, fissando la cifra iniziale ed il verso.
La stessa cosa si può fare girando in senso antiorario (da 1654321 a 1765432) quindi altri 6 diversi numeri di 7 cifre, sempre con la stessa cifra iniziale ma nel verso opposto.
Ragionevolmente sarà così anche per le altre cifre iniziali (anche per il 7) quindi avremo (6x2x7) 84 diverse combinazioni di 7 cifre, comprese tra 1 e 7, senza ripetizioni e senza mancanze, rispettando il vincolo di composizione indicato.
Salvo errori, naturalmente :-)