Forse non tutti sanno che un qualunque numero intero positivo può essere scritto come somma di al più quattro quadrati di interi positivi, o se preferite di esattamente quattro quadrati di numeri naturali (compreso lo zero). L’affermazione è stata congetturata già da Diofanto; Bachet la tradusse dal greco, Lagrange lo dimostrò e Legendre è considerato colui che nel 1798 ha anche dimostrato che gli unici numeri che richiedono effettivamente tutti e quattro i quadrati sono quelli della forma $4^k (8m+7)$, con k e m numeri naturali. A dire il vero Legendre per dimostrarlo assunse che dati due numeri interi a e b primi tra loro esistono infiniti primi della forma a + nb, con n intero; e Dirichlet dimostrò questo fatto solo quarant’anni dopo. La prima dimostrazione corretta fu del solito Gauss.
C’è però un altro problema apparentemente simile ma in pratica più complicato. Quali sono i numeri interi positivi che non possono essere scritti come somma di quadrati tutti diversi? È facile vedere che tra i numeri di una cifra ci sono 2, 3, 6, 7, 8; relativamente facile trovare 11, 12, 15, 18, 19, 22, 23, 24, 27, 28, 31, 32, 33; poi la cosa si fa più complicata. Gli altri numeri sono 43, 44, 47, 48, 60, 67, 72, 76, 92, 96, 108, 112, 128. Fine. Dopo questi 31 non ce ne sono altri, come del resto dice OEIS. Il tutto è stato dimostrato da Sprague nel 1948, quindi ben dopo il teorema dei quattro quadrati.
Il guaio è che la dimostrazione è per induzione, e passi: ma per la più brutta forma di induzione che io abbia mai visto. Se la guardate su ProofWiki, vedrete che il passo di base è verificare che tutti i numeri da 129 a 324 = 18² sono esprimibili, mostrare che dato un numero k > 324 e calcolato il numero i per cui i² < k ≤ (i+1)² possiamo scrivere k − (i − 4)² come somma di quadrati distinti nessuno dei quali è (i − 4)², e infine controllare tutti i numeri da 1 a 128 per vedere se possono o no essere scritti in quel modo.
Occhei, non siamo certo al livello delle dimostrazioni IA, ma direi che comunque non è che si impari molto da questa dimostrazione!
Ultimo aggiornamento:: 2026-10-12