«Non c'è però alcun dubbio che in economia restare troppo a lungo attaccato agli esercizi matematici possa essere un danno, portando all'atrofia del giudizio e dell'intuizione...»

«La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.»

«Misura ciò che è misurabile, e rendi misurabile ciò che non lo è.»

«Se l'uomo non sapesse di matematica non si eleverebbe di un sol palmo da terra.»

«Sfortunatamente non si comprende come i libri scientifici più validi siano quelli in cui l'autore indica chiaramente cosa non sa; un autore fa infatti maggiormente del male ai suoi lettori quando nasconde le difficoltà.»

«Tutte le volte che puoi, conta.»

[Quelli statistici sono] «gli unici strumenti attraverso cui si può fare un'apertura nel formidabile roveto di difficoltà che costellano il percorso di quelli che praticano le Scienze Umane.»

«Non conosco praticamente nulla adatto a colpire l'immaginazione come la meravigliosa forma di ordine cosmico espressa dalla «legge della frequenza degli errori». Se solo i greci l'avessero conosciuta, l'avrebbero personificata e deificata. Regna con serenità e in completa obliterazione tra la più selvaggia confusione. Più grande è la folla, e maggiore è l'anarchia apparente, più perfetto è il suo dominio. È la suprema legge dell'Irrazionalità. Ovunque una grande quantità di elementi caotici venga presa per mano e disposta in ordine di ampiezza, un'insospettata e bellissima forma di regolarità si scopre essere stata latente per tutto il tempo.»

«In pratica, [la cuoca Ernestina] manteneva costante la loro attenzione in veste di consulenti della qualità del fritto misto, giocando con la combinazione del matematico Celestino Sbrogliacci applicata al servizio in tavola: ogni nuova portata successiva alle prime due doveva consistere in un numero di pezzi che era la somma dei due numeri che la precedevano.»

«Per semplificare ai poco avvezzi alle combinazioni numeriche: una bistecchina di tacchino più un amaretto più due cavolfiori, più tre costolettine d'agnello, più cinque costolettine di vitello, più otto pezzi di cervella, più tredici funghi, più ventuno pezzi di salsiccia...»

«La storia biografica, quale viene insegnata nelle nostre scuole, è ancora in buona parte una storia di zucche vuote: re e regine ridicoli, leader politici paranoici, viaggiatori per mania, generali ignoranti - relitti galleggianti nelle correnti del tempo. Gli uomini che hanno cambiato radicalmente la storia, i grandi scienziati e matematici, sono menzionati raramente o per nulla.»

«Non solo la matematica è reale, ma è l'unica realtà. Beh, l'universo è composto di materia, ovviamente. E la materia è composta di particelle: elettroni, neutroni e protoni. Dunque l'intero universo è composto di particelle. Ora, di che sono fatte le particelle? Di nulla. L'unica cosa che si può dire sulla realtà di un elettrone è citarne le sue proprietà matematiche. Quindi in un certo senso la materia si dissolve completamente, e rimane semplicemente una struttura matematica. »

«C'è ancora una qualche differenza tra il qualcosa e il nulla, ma è puramente geometrica, e dietro la geometria non c'è nulla.»

[Rispondendo al tentativo di Olbers del 1816 di convincerlo a lavorare sull'ultimo teorema di Fermat] «Confesso che il teorema di Fermat, in quanto proposizione isolata, ha ben poco interesse per me, poiché posso facilmente buttare giù una moltitudine di tali proposizioni, che nessuno può dimostrare o confutare.»

«Se gli altri avessero solamente riflettuto sulle verità matematiche in maniera profonda e continuativa come ho fatto io, avrebbero fatto anche loro le mie scoperte.»

«Ci sono problemi alla cui soluzione darei un'importanza infinitamente maggiore di quelli matematici, ad esempio queli concernenti l'etica, o la nostra relazione con Dio, o riguardanti il nostro destino e il futuro; ma la loro soluzione giace completamente oltre noi e completamente al di fuori del campo della scienza.»

«Lei sa che io scrivo lentamente. Questo capita principalmente perché non sono mai soddisfatto fino a che non ho detto quanto più possibile in poche parole, e scrivere succinti richiede molto più tempo che scrivere prolissi.»

«Dio fa l'aritmeta.»

«Dobbiamo ammettere con umiltà che, mentre il numero è puramente un prodotto delle nostre menti, lo spazio ha una realtà esterna alle nostre menti, e quindi non possiamo definire completamente le sue proprietà a priori.»

«Intendo la parola prova non nel senso degli avvocati, che sommano due mezze prove per ottenerne una intera, ma nel senso dei matematici, dove una mezza prova vale zero, e viene richiesto per una prova che ogni dubbio si dimostri impossibile.»

«Posseggo questi risultati da molto tempo: ma non so ancora come posso arrivarci.»

[Il suo motto] «Pauca, sed matura: poche cose, ma mature.»

[Il suo secondo motto, dal Re Lear:] «Tu, natura, sei la mia dea; alle tue leggi si legano i miei servizi...»

[attributogli da H.B Lübsen] «La teoria attrae la pratica come il magnete attrae il ferro.»

«Non è la conoscenza, ma l'atto di imparare; non il possesso ma l'atto di arrivarci, che dà la gioia maggiore. Quando ho chiarito e esaurito un argomento, mi ci allontano, per tornare nell'oscurità; l'uomo non soddisfatto è così strano, che se ha completato una struttura non ce la fa a restarci in pace, ma deve iniziarne un'altra. Immagino che si debba sentir così il conquistatore del mondo che, quando un regno è stato a malapena conquistato, si lancia subito verso un altro.»

«Finalmente l'altroieri ci sono riuscito - non per i miei sforzi, ma per la grazia del Signore. Come un lampo improvviso, l'indovinello è stato risolto. Non sono in grado di spiegare qual è stato il filo conduttore che ha connesso quello che già conoscevo con ciò che ha reso possibile il mio successo.»

«Una gran parte delle teorie [dell'aritmetica superiore] trova un maggiore incanto dalla peculiarità che molte importanti proposizioni, con un'aria di semplicità, si scoprono molto facilmente per similitudine, però sono di un carattere così profondo che non riusciamo a trovare anche dopo molti tentativi vani; e anche se alla fine ci riusciamo è spesso per mezzo di un processo noioso e artificiale, mentre i metodi più semplici restanto spesso nascosti.»

«Divento sempre più convinto che la necessità della nostra geometria non possa essere dimostrata: perlomeno né dall'intelletto umano né per esso... La geometria non deve essere messa nella stessa classe dell'aritmetica, che è aprioristica, ma in quella della meccanica.»

«Non avete idea di quanta poesia ci sia in una tavola dei logaritmi.»

«Le bellezze peculiari di questi campi hanno attratto tutti coloro che se ne sono occupati attivamente; ma nessuno ha espresso questo fatto tanto spesso quanto Eulero, il quale, in quasi tutti i suoi numerosi scritti dedicati alla teoria dei numeri, cita di continuo il diletto che ricava da quelle investigazioni, e il gradito cambiamento che vi trova rispetto a compiti più direttamente collegati ad applicazioni pratiche.»

«La matematica è la regina delle scienze.»

«Oltre ai poligoni usuali, ce n'è una collezione di altri che sono costruibili geometricamente, ad esempio il 17-gono. Questa scoperta è propriamente un semplice corollario di una scoperta più generale non ancora del tutto completata, che verrà presentata al pubblico non appena terminata.»

Il problema di distinguere i numeri primi dai numeri composti e di risolvere questi ultimi nei loro fattori primi è noto per essere uno dei più importanti e utili nell'aritmetica [...] La dignità della scienza stessa sembra richiedere che ogni strada possibile sia esplorata per la soluzione di un problema così elegante e così celebrato.

«Per evitare che la gente sospetti fasulla la vostra storia, tenete d'occhio le probabilità.»

«Uno degli oggetti principali della ricerca teorica nel mio campo di conoscenza è trovare il punto di vista dal quale l'argomento appare nella sua maggior semplicità.»

«La matematica è un linguaggio.»

«sin(1/x) è il bassotto a cui hanno sbattuto la porta in faccia.»

«Sono assai bravo nel calcolo integrale e differenziale. Conosco i nomi scientifici degli esseri animalucoli; in breve, nelle materie vegetali, animali e minerali, sono proprio il modello di un Generale moderno.»

«Quale uso possono avere queste soluzioni impossibili [i numeri immaginari]? Io rispondo: triplice - per la certezza della regola generale, per la loro utilità, e perché non ci sono altre soluzioni a certe equazioni.»

«Il matematico necessita di tatto e buon gusto a ogni passo del suo lavoro, e deve imparare a fidarsi del proprio istinto per distingere tra quanto merita i suoi sforzi e quanto no.»

«E per quanto riguarda la scienza matematica, colui che dubita ha certamente bisogno di una dose di elleboro.»

[al fisico John Bahcall] «Non credo nella scienza naturale.»

«Nonostante la loro remotezza dall'esperienza dei sensi, noi abbiamo un qualcosa simile a una percezione anche degli oggetti della teoria degli insiemi, come si può vedere dal fatto che gli assiomi stessi ci forzano a considerarli veri. Non vedo motivo perché dovremmo avere una fiducia minore in questo tipo di percezione, vale a dire l'intuizione matematica, piuttosto che nella percezione sensoriale, che ci induce a costruire teorie fisiche e aspettarci che future sensazioni sensoriali si accordino ad esse...»

«O la matematica è incompletabile in questo senso, che i suoi assiomi evidenti non possono mai essere compresi in una regola finita, vale a dire che la mente umana (perfino all'interno del dominio della matematica pura) sorpassa infinitamente i poteri di qualsiasi macchina finita, oppure esistono problemi diofantei [...] assolutamente insolubili (dove non è escluso che entrambi i termini della disgiunzione siano veri).»

«È ben noto che A.M. Turing ha fornito una definizione elaborata del concetto di funzione sui numeri naturali calcolabile meccanicamente [...] Il problema se la definizione di Turing sia adeguata [...] ammette senza dubbio una risposta affermativa.»

«La matematica inizia ad assomigliare troppo alla soluzione di giochetti. Anche la fisica è soluzione di giochetti, ma di quelli creati dalla natura, non dalla mente dell'uomo.»

«I matematici sono come i francesi: ogni volta che dite loro una cosa, essi la traducono nel loro linguaggio e subito è qualcosa di interamente diverso.»

«Hanno detto che le cifre governano il mondo. Può darsi. Ma sono certo che le cifre ci mostrano se è governato bene o male.»

«La matematica ha la reputazione completamente falsa di arrivare a conclusioni infallibili. La sua infallibilità non è nient'altro che identità. Due per due non è quattro, ma è solo due per due, e noi chiamiamo questo ’quattro’ per comodità. Ma quattro non è nulla di nuovo. E la matematica va avanti così nelle sue conclusioni: solo che nelle formule più avanzate l'identità scompare dalla vista.»

«Ho sentito di essere stato accusato di essere un oppositore, un nemico della matematica. E invece nessuno Ie dà più valore di me, visto che compie proprio le cose che mi è sempre stato impedito di raggiungere.»

«Non ci sono teoremi profondi - solo teoremi che non abbiamo compreso molto bene.»

«Dobbiamo prendere atto che la matematica è un'attività pubblica. Che occorre in un contesto sociale e che ha conseguenze sociali. Porre un problema, formulare una definizione, dimostrare un teorema non sono, nessuno di questi, atti privati [...] Perciò una filosofia della matematica è strettamente analoga ad una concezione della natura di oggetti materiali che appartengono all'esperienza pubblica.»

[Dopo avere visto il lavoro di Hilbert sulla teoria degli invarianti] «Questa non è matematica, ma teologia.»

«Se si sa dall'esperienza che una semplificazione avrà un effetto piccolo sulla risposta, quella semplificazione è da farsi.»

«Purtroppo, mentre i calcolatori ci sorprendono continuamente per tutto quello che possono fare, non si sa quasi nulla su quello che non possono fare.»

«Ecco un'altra buona ragione perché i modelli siano i più semplici possibile: se siamo fortunati, possiamo usare lo stesso modello per studiare molti fenomeni differenti in un colpo solo.»

«Da un punto di vista matematico, non c'è nulla di male nel numero 1394840275936498649234987, ma se non siamo nemmeno in grado di contare i voti in Florida è inconcepibile potere mai essere certi di avere una collezione di 1394840275936498649234987 oggetti.»

«Il fatto che le sue discussioni possano <emphasis>in principio</emphasis> essere risolte rende la matematica unica. Non c'è l'equivalente matematico degli astronomi che credono ancora nella teoria cosmologica dello stato stazionario, o di biologi che con grande convinzione mantengono idee assai diverse su quanto può venire spiegato dalla selezione naturale, o di filosofi in fondamentale disaccordo sulla relazione tra la consapevolezza e il mondo fisico, o di economisti che seguono scuole di pensiero differenti come il monetarismo e il neokeynesianismo.»

«Noi possiamo rimanere estasiati quando un brano musicale si muove verso una direzione armonica inaspettata che più avanti sembra perfettamente appropriata, o quando una trama orchestrale sembra essere qualcosa in più che la somma delle varie voci in un modo che non riusciamo perfettamente a comprendere. Le dimostrazioni matematiche possono fornire un piacere simile con rivelazioni improvvise, idee inaspettate eppure naturali, e affascinanti sensazioni che ci sia qualcosa in più da scoprire.»

«Sarebbe scoraggiante se un giorno potessimo chiedere a un calcolatore se l'ipotesi di Riemann è corretta, e sentirci rispondere «Sì, ma non puoi comprenderne la dimostrazione».»

«Da molto tempo i matematici hanno considerato riduttivo lavorare su problemi legati alla geometria elementare in due o tre dimensioni, nonostante questo sia proprio il tipo di matematica che ha un valore pratico.»