Nel quadrato ABCD di lato 4 mostrato qui sotto in figura sono stati disegnati due archi di cerchio di centro A e B rispettivamente e di raggio 4, che si incontrano in un punto O. Quali sono il perimetro e area del triangolo curvilineo ADO colorato nella figura?
(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p367.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema classico.)
Ultimo aggiornamento: 2019-02-18 22:09
Ho trovato la seguente soluzione
\ 16 è l’area del quadrato di lato 4
\ 16*Pi è l’area del cerchio di raggio 4
\ 4*Pi è 1/4 dell’area del cerchio di raggio 4
\ a = arco
\ t = triangolo fra i segmenti
\ s = settore compreso fra l’arco e il segmento omonimo
\ tc = triangolo curvilineo delimitato da archi e lati del quadrato
AB=BC=CD=DA=AO=OB=4 \ sono i lati del quadrato ABCD e del triangolo equilatero ABO
4
AOa=OBa=4*Pi/3 \ sono gli archi del triangolo circolare ABOtc
4.1887902047863909846168578443726705123
DOa=OCa=4*Pi/6 \ sono gli archi del triangolo circolare DCOtc
2.0943951023931954923084289221863352561
AOBt=16*sin(Pi/3)/2 \ area del triangolo equilatero AOB
6.9282032302755091741097853660234894678
AOs=16*Pi/6-AOBt \ area del settore circolare sotteso dall’arco AOa e dal segmento AO
1.4493771792972727951239303227218515568
AOBtc=AOBt+2*AOs \area del triangolo circolare AOBtc sotteso dal lato AB e dagli archi AOa e OBa
9.8269575888700547643576460114671925813
ADOtc=4*Pi-AOBtc \ area del triangolo circolare ADOtc sotteso dal lato DA e dagli archi DOa e AOa
2.7394130254891181894929275216508189555
DCOtc=16-2*ADOtc-AOBtc \ area del triangolo circolare DCOtc sotteso dal lato DC e dagli archi DOa e OCa
0.69421636015170885665649894523116950769
AOBtc+2*ADOtc+DCOtc \ somma dei 4 triangoli circolari pari all’area del quadrato
16.000000000000000000000000000000000000
infine la soluzione al quesito
perimetro triangolo curvilineo ADO = DOa + AOa + DA
10.283185307179586476925286766559005768
area del triangolo curvilineo ADO = ADOtc
2.7394130254891181894929275216508189555
C’è stato un problema nella scrittura del testo dove dice “che si incontrano in li sono il perimetro” e inoltre la pagina del quizzino restituisce 404.
[SEGUE TENTATIVO DI SOLUZIONE]
Comunque basta osservare che:
* l’arco DO è uguale all’arco CO e quindi il perimetro del triangolo curvilineo ADO è pari alla somma della lunghezza del lato AD e di quella del quarto di circonferenza AC;
* l’area del triangolo curvilineo ADO è pari all’area del quarto di cerchio ABD meno quella del triangolo curvilineo ABO e quest’ultima è equivalente a quella di un segmento circolare a una base di ampiezza 2π/3 (120°). Alternativamente: area del settore circolare DAO di ampiezza π/6 (30°) meno area del segmento circolare a una base di estremi A e O di ampiezza π/3 (60°).
Non sono riuscito a trovare un modo più semplice :-)
Nella pagina della soluzione manca il diagramma della risposta e all’inizio c’è un tag “italic” non chiuso (sì, su queste cose sono spietato :-P).