Quizzino della domenica: lancette quasi sovrapposte

Se avete ancora un orologio analogico, probabilmente sapete che la lancetta delle ore e quella dei minuti sono perfettamente sovrapposte undici volte tra mezzogiorno e subito prima di mezzanotte. Forse non sapete che se aggiungete la lancetta dei secondi, l’unico momento in cui sono tutte e tre sovrapposte è mezzogiorno (o mezzanotte, d’accordo). Ma sapreste dire quando le tre lancette sono più vicine tra di loro – nel senso che le due più esterne, qualunque esse siano, formano l’angolo minore – tra mezzogiorno e cinque secondi e mezzanotte meno cinque secondi? Supponete che tutte le lancette si muovano di moto uniforme, e considerate anche i decimi di secondo.

(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p218.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema tratto da Math Forum)

4 comments

  1. Partiamo dagli istanti in cui la lancetta delle ore è sovrapposta a quella dei minuti, e andiamo a vedere dov’è in quei momenti quella dei secondi: il momento in cui è più vicina è alle 3:16:22 (e, simmetricamente, alle 8:43:38).

    In questo intorno ci sono tre momenti in cui una lancetta è esattamente in mezzo alle altre due. Il più favorevole è quello quando in mezzo c’è quella dei secondi.

    Questo accade alle 3:16:16.314 (circa)
    Il dato esatto dei secondi è: 23280/1427

    Sicuramente c’è un modo semplice per arrivare al risultato. Io non l’ho trovato.

  2. Ho letto la risposta.
    Con la soluzione che avevo postato io (3:16:16.314 ) mi viene un valore inferiore:
    Lancetta delle ore:
    1. Converto le ore in decimale: 3+16*60+16.314*3600 = 3.271
    2. Guardo l’angolo (in gradi) rispetto alla mezzanotte: 3.271*30 = 98.136
    Lancetta dei minuti:
    1. Stessa cosa: 16+16.314*60 = 16.272
    2. In gradi: 16.272 * 6 = 97.631
    Lancetta dei secondi, in gradi: 16.314 * 6 = 97.884
    Quindi l’angolo massimo tra le lancette è di circa mezzo grado.
    Dove ho sbagliato?

  3. @Fabio:
    a parte qualche arrotondamento trovo le stesse soluzioni tue: la posizione ottimale si ha quando la lancetta delle ore ha percorso esattamente 196/719 di giro, quella dei minuti 3 giri + 195/719 e quella dei secondi ha completato 196 giri ed è sovrapposta a quella delle ore.
    Sono le 3:16:16.356… Buona anche la situazione simmetrica.
    La differenza angolare è esattamente 1/719 di giro: una briciola più mezzo grado.
    La risposta di Maurizio porta ad un angolo doppio, così impara a copiare i problemi 😉
    Ciao

    • come se io avessi tempo di inventarmeli, i problemi…
      (grazie a entrambi, ora correggo)