Testa o croce

Cominciamo col vedere alcuni casi calcolabili a mano. Con un solo lancio, abbiamo T oppure C, e in ogni caso la striscia media è lunga 1. Con due lanci i casi sono TT, TC, CT, CC; in due casi abbiamo una striscia di lunghezza 2 e negli altri due ne abbiamo una di lunghezza 1, quindi la media è 3/2. Con tre lanci abbiamo TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC. In due casi abbiamo una striscia di lunghezza 3, in due altri casi una di lunghezza 2, e negli ultimi 4 una di lunghezza 1; la media è 7/4. Questo può far pensare che dopo n lanci il valore medio sarà (2ⁿ−1)/2ⁿ⁻¹. Come dimostrarlo? Per esempio per induzione. Il caso iniziale l'abbiamo appena visto: passiamo ora dal caso n a quello n+1. Il trucco è non aggiungere un lancio che segue quelli già fatti, ma uno che li precede. In tutti i casi tranne i due TTT...TTT e CCC...CCC la lunghezza della striscia non cambia; nei due restanti in due casi la striscia rimane quella precedente e negli altri due la striscia si allunga di uno. Facendo i conti, ottieniamo il risultato cercato.

Un'ultima parola

Ho la sensazione di avere già postato un quizzino equivalente, anche se con formulazione diversa.