Numeri di Fermat

Per k = 1 abbiamo 3×5 + 2 = 17, per k = 2 abbiamo 3×5×17 + 2 = 257. Possiamo usare questi come base per l'induzione. Nel caso generale, abbiamo F₀F₁F₂...F_k = (F₀F₁F₂...F_k−1)F_k = (F_k −2)F_k = (2^(2^k) − 1)(2^(2^k) + 1) = (2^(2^k))^2 − 1 = (2^(2^(k+1))) − 1 = F_k+1 − 2.

Un'ultima parola

Dato questo risultato, possiamo dimostrare come corollario che i numeri primi sono infiniti. Per prima cosa mostriamo che due numeri di Fermat distinti sono primi tra loro. Se abbiamo che F_m e F_n, con m ≤ n, hanno un fattore comune p allora p divide F₀F₁F₂...F_m−1 e quindi anche F_m − 2. Ma questo è impossibile perché l'unico primo che potrebbe dividere F_m − 2 e F_m sarebbe 2, ma i numeri di Fermat sono tutti dispari. A questo punto, ciascun numero naturale può essere scritto come prodotto di numeri primi; ma poiché i numeri di Fermat sono sempre primi tra loro ciascun numero primo può apparire al più in un numero di Fermat. Poiché questi sono infiniti, anche i numeri primi devono esserlo. Per la cronaca, questa dimostrazione si deve a Goldbach.