Cioccolatini

La scatola di tipo d può contenere 3, 5, o 7 cioccolatini, quella di tipo p ne può contenere 2, 4, 6 e quella di tipo q 1, 4, 9.
Supponiamo che la scatola B sia di tipo q: non può avere 1 cioccolatino (non ne potremmo togliere tre), non può averne 9 (finirebbe con 10) e non può averne 4 (rimarrebbe con 1 che è un quadrato e cambierebbe la parità di una delle altre scatole, lasciandole entrambe dello stesso tipo).
Supponiamo ora che la scatola B sia di tipo d; allora potrebbe avere 5 o 7 cioccolatini. Nel primo caso A non può essere di tipo p, perché il primo scambio fa diventare B di tipo p e quindi A dovrebbe diventare di tipo d, con possibilità 2→5 e 4→7; nessuna di queste possibilità permette il secondo scambio. Se invece B avesse inizialmente 7 cioccolatini, diventerebbe di tipo q; pertanto A dovrebbe essere di tipo q e diventare di tipo d, e l'unica possibilità è passare da 4 a 7. L'unica possibilità per C al secondo scambio è passare da 2 a 7 cioccolatini; ma il terzo scambio lascerebbe A con 2 cioccolatini, B con 8 e C con 3 e non ci sarebbero scatole di tipo q.
Dunque la scatola B è di tipo p, e con il primo spostamento diventa di tipo q. La possibilità per (A,B,C) sono (3,6,q)→(6,3,q); (5,6,q)→(8,3,q); (3,8,q)→(6,5,q); (5,8,q)→(8,5,q). La prima porta al secondo scambio a (1,3,q+5) da cui il q iniziale non può che essere 1, e l'ultimo passaggio porta a (1,7,2). La seconda porta a (3,3,q+5), non valido. La terza porta a (1,5,q+5) e di nuovo il q iniziale deve essere 1, ma il terzo passaggio porterebbe a (1,9,2), non valido. La quarta porta a (3,5,q+5), impossibile. Pertanto la risposta è che (A,B,C) inizialmente hanno (3,6,1) cioccolatini.

Un'ultima parola

Il problema originario diceva di che tipo erano inizialmente le scatole, ma così era troppo facile!