Numeri basici

Per semplificare il testo, il numero abcd in base n sarà scritto abcd_n e se una cifra è il risultato di un'operazione aritmetica la metterò tra parentesi: se n=2, 1(n-1)_2 sarà 11 in base 2. Per prima cosa, notiamo che un qualunque numero n ≥ 3 può essere scritto come 1(n-1)_n; 3 = 11_2, 5 = 12_3, 7 = 13_5 e così via. Quindi tutti i numeri dispari tranne 1 sono basici. Poiché se usiamo una base dispari un qualunque numero basico è la somma di un numero dispari di potenze (non necessariamente distinte) di un numero dispari, le basi dispari possono solo generare numeri basici dispari, e dunque possiamo limitarci a controllare le basi pari e i numeri che terminano con una cifra pari.

Vediamo ora nelle basi pari quali sono i numeri basici che terminano in 0. In base 2 i numeri basici della forma 110...0_2 sono 6, 12, 24, 48, 96, quelli della forma 1010...0_2 sono 10, 20, 40, 80; quelli della forma 10010...0_2 sono 18, 36, 72; quelli della forma 100010...0_2 sono 34 e 68, e infine c'è 1000010 che è 66. In base 4 abbiamo 130_4 = 28, 220_4 = 40, 310_4 = 52, 1030_4 = 76, 1120_4 = 88, 1210_4 = 100; a nessuno di questi può essere agggiunto un altro 0. In base 6 abbiamo 150_6 = 66.

Per quanto riguarda gli altri numeri, quelli della forma 4+6n a partire da 10 possono essere scritti come 2(n-2)_n; quindi 10, 16, 22, 28, 34, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96 sono basici. I numeri della forma 10n+6 da 26 in su sono scritti come 4(n-4)_n; quindi 26, 36, 46, 56, 66, 76, 86, 96 sono basici; i numeri basici della forma 6(n-6)_n sono 50, 64, 78, 92; quelli della forma 8(n-8)n sono 82 e 100. Alla fine (se non ho sbagliato i conti...) i numeri non basici da 1 a 100 sono 1, 2, 4, 8, 14, 30, 32, 38, 42, 44, 54, 60, 62, 74, 84, 90, 98.

Un'ultima parola

Speravo di poter proporre questa successione a OEIS, e invece è A187813. L'ho scoperto dopo aver fatto tutti i conti a mano...