Quali numeri in S?

Applicando consecutivamente P1 e P2, abbiamo che e n∈S, allora anche n+5∈S; quindi possiamo cercare i più piccoli numeri in S per ogni classe di resto modulo 5. Innanzitutto, S non contiene multipli di 5; infatti sia usando P1 che P2 l'unico modo per ottenere un multiplo di 5 è partire da un multiplo di 5. Inoltre non è possibile ottenere 1, perché l'unica operazione che fa ottenere un numero minore di quello di partenza è P2, e la radice quadrata di un numero maggiore di 1 è maggiore di 1.
Prima di proseguire, notiamo come se 4∈S allora per P1 abbiamo (4+5)² = 81∈S, e quindi, applicando due volte P2, 3∈S. Inoltre, sempre partendo da 81 e applicando più volte la coppia P1-P2 come spiegato sopra, sappiamo che 1296∈S; quindi, applicando due volte P2, 6∈S. Se quindi 4∈S abbiamo che S comprende tutti e soli i numeri maggiori uguali a 2 e non multipli di 5. Per vedere che effettivamente 4∈S. Da P0 e P1 abbiamo che 49∈S; con P1 abbiamo che 54²=2916∈S, e applicando più volte la coppia P1-P2 abbiamo che 65536∈S. Da qui, applicando tre volte P2, ricaviamo 4∈S.

Un'ultima parola

Un problema come questo è l'ideale per essere discusso in una classe: la matematica che serve non è infatti molta, e l'importante è avere le idee giuste.