Quadratura dell'anno

Se il resto modulo quattro di un numero intero è rispettivamente 0, 1, 2, 3, quello del suo quadrato è 0, 1, 0, 1. Quindi la somma di due quadrati può valere solo 0, 1 o 2 modulo 4: 2011 è uguale a 3 modulo 4, quindi non è possibile trovare due numeri i cui quadrati sommati diano 2011. Per quanto riguarda 2012, è un multiplo di 4: quindi i due eventuali numeri soluzione di x²+y² = 2012 non possono essere uno pari e l'altro dispari, ma nemmeno entrambi dispari, visto che la loro somma sarebbe uguale a 2 modulo 4. Ma allora possiamo scrivere x=2m e y=2n, e la nostra equazione diventa 4m²+4n² = 2012 cioè m²+n² = 503. Per le stesse considerazioni di cui sopra, visto che 503 è pari a 3 modulo 4 nemmeno in questo caso ci sono soluzioni.

Un'ultima parola

Quando si hanno problemi con operazioni sui numeri interi, le classi di resto possono essere utili.