Testa o croce

Tina lancerà la moneta più volte di Carlo. I conti per una volta non sono immediati, ma sono comunque abbastanza semplici. Iniziamo con Tina, e immaginiamo che il numero medio di lanci sia E (E sta per expected value, valore atteso). Con probabilità 1/2 il primo lancio è croce; quindi dobbiamo ricominciare da capo dopo aver per così dire sprecato un lancio, e il valore atteso in questo caso sarà 1+E. Con probabilità 1/4 abbiamo testa+croce, e abbiamo sprecato due lanci: il valore atteso sarà 2+E. Con probabilità 1/4 abbiamo testa+testa, abbiamo finito e il valore atteso è 2. Possiamo quindi scrivere l'equazione
E = (1/2)(1+E) + (1/4)(2+E) + (1/4)×2
da cui si ricava facilmente E=6.
Per Carlo i conti sono più complicati. È sempre vero che in un caso su due, quando esce croce, il valore atteso è 1+E. Ma poi abbiamo una serie infinita di successioni del tipo TTT...TC. Con probabilità 1/4 abbiamo TC, e quindi valore atteso 2; con probabilità 1/8 abbiamo TTC, e quindi valore atteso 3; con probabilità 1/16 abbiamo TTTC, e quindi valore atteso 4, e così via. La somma di tutti questi valori attesi è 3/2; quindi abbiamo l'equazione
E = (1/2)(1+E) + 3/2
da cui E=4.

Un'ultima parola

Il paradosso di Penney si basa sullo stesso principio.