Dammi due colori

No, non è possibile colorare il piano con due soli colori in modo tale che non ci sia nessun triangolo equilatero coi vertici dello stesso colore.

Per vederlo, si può prendere un tassellamento triangolare come quello della figura qui sotto e iniziare a dare una colorazione. Senza perdita di generalità possiamo immaginare che A e B siano rossi: a questo punto, C e D devono essere verdi per evitare che i triangoli ABC e ABD siano tutti rossi; E dev'essere rosso altrimenti CDE sarebbe tutto verde; G e H devono essere verdi perché altrimenti BEG e BEH sarebero tutti rossi; I dev'essere rosso perché altrimenti GHI sarebbe tutto verde.
A questo punto, prendiamo J: non può essere rosso perché altrimenti EIJ sarebbe tutto rosso, ma non può essere verde perché altrimenti CGJ sarebbe tutto verde.

Un'ultima parola

Il bello di questo problema è che uno inizia a pensare al fatto che ci sia un'infinità più che numerabile di punti in un piano, e invece non ce n'è affatto bisogno.