Caramelle per tutti

Ci sono 42 persone in circolo, alle quali sono state distribuite 2012 caramelle in modo che inizialmente tutti ne abbiano un numero pari (foss'anche zero). Però quella è per l'appunto solo la distribuzione iniziale! A un fischio del maestro di cerimonia, ciascuno dei beneficiati dà metà delle sue caramelle al vicino di destra; se alla fine della distribuzione qualcuno rimane con un numero dispari di caramelle, il maestro di cerimonia gliene dà ancora una (mi ero dimenticato di dire che il gioco è sponsorizzato dalla Sperlari). Dimostrate che se l'operazione "dividi e passa" viene fatta per un numero sufficiente di volte, qualunque sia la distribuzione iniziale si arriverà a un punto in cui tutti e 42 i giocatori avranno lo stesso numero di caramelle.

   

   

Problema dalle Beijing Mathematical Olympiad del 1962. Immagine di maweki, da OpenClipArt.